I."^ PARTIE. CHAP. IX

!c/ = a rc COS.

\ COS. L sm. U J '

on conclura des équations {/^i) et {ii)

A- désignant un nombre entier quelconque , et les deux lettres U, F devant être affectées du même signe ; en sorte qu'on aura définitivement

iM) arc COS. ((4 = ± 2 X' TT =h ( ^-+- T /-TT).

Parmi les diverses valeurs de arc cos. ((^ que fournit l'équation précédente, la plus simple est celle qu'on obtient en posant /—o dans le premier terme du second membre , et j^renant l'autre terme avec le signe ^-. Nous la désignerons à i'aide de parenthèses simples, et nous écrirons en conséquence

arc cos. (.r) — U ^ F/^.

OU même, en supprimant tout-à-fait les parenthèses,

(4^) arc cos. x =z U -i- V y/^x.

Dans le cas particulier où , g étant nul , la quantité et reste comprise entre les limites -^ i , n- i , la formule (46) se réduit, comme on devait s'y attendre, à l'équation identique

arc COS. et =: arc cos. et.

D'autre part, si l'on observe quedr 2.krt représente un quelconque des arcs qui ont l'unité pour cosuuis,

on reconnaîtra que i équation (45) peut être mise

sous la forme

(47] arc cos, ((.r)j = dr arc cos, X -+- arc eos. \i I H.

Il est encore essentiel de remarquer que , dans ie cas où l'on suppose lo=:o , et ia vaieur numérique de et supérieure à l'unité , i'expression

arc COS. et-

obtient toujours une vaieur imaginaire. Cette valeur sera donnée par l'équation

(48) aro cos. cL ■=■ I {dC) . -/^

si cL est positif, et par îa suivante

(49) arcco6.a=-=T-i- /(— a).-^/r^ = [^(— «) — tt .■^^Zr^^.yZTi

si rt devie'it négatif.

Considérons maintenant les arcs imacinaires dont le sinus est .r=:ct-H'oy^— l Si ion désigne un quelconque de ces arcs par

arc sin. ((jr)) r=z ti-^v -j/— ' ,

on trouvera [en ayant égard à la seconde des équa» tions (9)]

JC ^=:i sm. (il -\- V -\/—^^ :=■ COS. {- U — ^y^—^j i

et l'on en conclura

(^ o) arc sin. ((.r)) =z îl -\- V)/—t = arc cos. ((o:)).

Si dans la formule précédente on substitue les di^ verses valeurs de arc cos. ((^■)) , dont l'une a été d«-