I."' PARTIE. CHAP. IX

signée pnr lu notation arc cos. (.r) ou arc cos. x , on obtiendra les diverses valeurs de arc sin. ((.r)) , dont l'une sera désignée par la notation arc sin. (^) ou arc siii. jc , et déterminée par i'équation

f < l) arc sin. X ^=. — — arc cos. X.

A l'aide des principes que nous venons d'établir, il est aisé de reconnaître les propriétés les plus essentielles dont jouissent les fonctions de la variable imaginaire x représentées par les notations

A. , COS. X , sin. X ,

Lx , arc COS. X , arc sin. X.

Pour obtenir ces propriétés , il suffit d'étendre les formules que ces fonctions vérifient dans le cas où la variable x est réelle , au cas où la variable devient imaginaire. Cette extension s'elfeciue d'ordinaire sans difficulté pour cbacune des trois fonctions

A" , COS. X , sin. X.

Ainsi, par exemple, A, B , C, .... désignant plusieurs nombres , on prouvera facilement que les équations

^^^^\ A' .B" , C-' ... ^ {ABC.y,

y j = COS. X cos. y — sin. X sin. y ^ y j rr: sin. X cos. y -+- sin. y cos. .r

subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires quelconques des va-

328 COURS d'aiNALyse.

riahles jr, y , z, . . . ?vlais, si ion considère des foi'-

mules dans lesquelles entrent les fonctions inverses

Li.X j arc COS. X , arc sin. X ,

on trouvera le plus souvent que ces formules, étendues au cas où les variables deviennent imai» inaires, ne subsistent plus qu'avec des restrictions considérobl- s, et pour certaines valeurs des variables dont il s'agit. Par exemple, si l'on fait

et, si l'on désigne par //. une quantité réelle queicoîK]iie , on reconnaîtra que la formule

(54) L{,x) -t- /.(//) -^ L(r.) H- e^c... = L(.ry .....)

subsiste seuiement dans le cas où, et, et', et", &c.,. étant positifs, la somme

arc tan"". - -H arc tang. — ; — l- arc tan". — rr -\- &C...

^ et ^ CL » a

reste comprise entre les limites ;- , -h — ; et la

formule

dans le cas où , et étant positif, le produit

Q fX . arc tang. —

reste compris entre les mêmes limites.