On peut satisfaire à toute Equation dont le

premier membre est une Fonction raiionnelle et

entière de la variable x par des valeurs réelles

ou imagijiaires de cette variable. Décomposition

des polynômes en facteurs du premier et du second

degré. Représentation géométrique des facteurs

réels du second deo-ré.

Considérons une équation algébrique dont le premier membre soit une fonction rationnelle et entière de la variable .r. Si n représente le degré de cette équation , elle pourra se mettre sous la forme

a^, a, ^ a,, ... r^„, , a„ étant des coeflîciens constans réels ou imaginaires. On appelle racine de cette même équation toute expression réelle ou imaginaire

qui, substituée à la place de l'inconnue x , rend le premier membre égal à zéro. Supposons d'abord, pour fixer les idées , que les constantes a^^ a,, a^ ... a„ se réduisent à des quantités réelles. Alors, si deux valeurs réelles de .r substituées dans le premier membre de l'équation (i) fournissent deux résultats entre lesquels zéro se trouve compris, c'est-à-dire, deux résultats de signes contraires , on conclura du chapitre n [ §. 2, 4*^ théorème] que l'équation (i) admet une ou plusieurs racines réelles comprises entre ces valeurs. Il en résulte que toute équation de degré impair aina au moins une racine réelle. En effet , si n est un nombre impair , le premier membre de l'équation (i) changera de signe avec son premier terme a^ x" , toutes les fois qu'en attribuant à la variable x des valeurs numériques trèsconsidérables on fera passer cette variable du positif au négatif: [voy. le S.'' théorème du chap. H, §. i]. Lorsque 7i devient un nombre pair, la quantité jc" demeurant positive tant que la variable x est réelle , le premier membre de l'équation ( i ) finit par être, pour de très -grandes valeurs numériques de X , constamment de même signe que a„. Si, dans la même hypothèse, a^ et a^ sont de signes contraires, ie premier membre changera évidemment de signe» lorsqu'on passera d'une très- grande valeur numérique de X à une très-petite , en laissant la variable toujours positive ou toujours négative. L'équation ( i) aura donc alors deux racines réelles , l'une positive et l'autre négative.