I/" PARTIE. CHAP. X

Lorsque, « étant un nombre pair, a^ et a„ sont de même signe , il peut arriver que le premier membre de l'équation ( i ) reste , pour toutes les vaieurs réelles àe x , de même signe que a^ , sans jamais s'évanouir. C'est ce qui a lieu , par exemple , pour chacune des équations binômes

.r'-Hi=:o, X^-HI = 0, .r'^-HI=:0, &.C....

Dans un cas semblable , l'équation ( i ) n'aura plus de racines réelles; mais on y satisfera en prenant pour .r une expression imaginaire

u, V désignant deux quantités réelles et finies. Cette proposition , et celles que nous venons d'établir , se trouvent renfermées dans le théorème suivant.

1.^' Théorème. Quelles que soioit les valeurs réelles ou les valeurs hna^'iuaires des constantes «„ , «, , ... a„, , a„ , l'équation

dans laquelle n désigne un nombre entier égal ou supérieur a l'unité , a toujours des racines réelles

ou imas^matres.

DÉMONSTRATION. Désignons, pour abréger, par /'(.r) le premier membre de l'équation (i) : f{jo) sera une fonction réelle ou imaginaire , mais toujours entière, de la variable x; et, puisque toute expression réelle u se trouve comprise connue cas particulier dans une expression imaginiiirc u-^-v-Z—x ,

il suffira, pour étabiir le théorème énoncé, de démontrer généralement qu'on peut satisfaire à i'équiv tion

en prenant

X =: Il -^ V -j/— I ,

puis attribuant aux nouvelles variables u et v des valeurs réelles. Or , si l'on substitue la valeur précédente de X dans la fonction f{jc) , le résultat sera de la forme

cpiii, t»), "/^{if , v) désignant deux fonctions réelles et entières des variables ti et v. Cela posé , l'équa^ tion (i) deviendra

et , pour y satisfaire , il suffira de vérifier les deux équations réelles

( Cp (u, ?') = o, (^)

ou , ce qui revient au même, l'équation unique

(3) [^('^ 0]'-^[%(^^^)]'==o• Donc , si Ton pose pour plus de commodité

il restera seulement à montrer que l'on peut obtenir