PARTIE. CHAP. X

inférieure qu'elle ne dépassera jamais. Représentons par A cette limite, et par Wo, v^ un des systèmes de valeurs finies de u et de v , pour lesquels F{u, v) se réduit k A , en sorte qu'on ait identiquement

(lo) F[u,, vj) — A,

La différence F(z^^ v)-F{iio , v^ ne s'abaissera jamais au-dessous de zéro; par conséquent, si i'oa fait (il) u^=iu^-^ a.h ^ V =zv^-¥- dik ,

CL désignant une quantité infiniment petite, et h, k deux quantités finies, l'expression

F{u,-^cth, z', -H et A") — F{îi,, v„)

ne sera jamais négative. En partant de ce principe, il sera facile de déterminer la valeur de ia constante A , ainsi qu'on va le faire voir.

Si dans l'expression imaginaire /"(/^ -+- v |/— ■ ) on substitue pour u et v leurs valeurs données par les formules (i i), cette expression, devenant alors une fonction imaginaire et entière du produit

CL (A H- k '/^) ,

pourra être développée suivant les puiiisances entières et ascendantes de ce même produit. En désignant par

R (cos. T-l-|/— I sin. 7^) , R, (cas. T",-!-]/— i sin. 7\) , /?,, (cos. T„ -t- ]/-i sin. T„) ,

les coefficiens imaginaires de ces puissances dont quel{pies-uns peuvent se réduire à zéro, et faisant pour plus de commodité

33G COURS d'analyse.

(12) /^-H X.- )/-! =:jo(cos.Ô -h |/-^sin.ô) ,

011 obtiendra l'équation

( /[iio-+-î'o/=^H-«(/«-î-^v/'^)] = ^('^os.T-h/Z::Tsm.7')

(13)/ -^- et iz , j> [cos. ( r, -f- e ; -h y/— sin. ( r. H- e) ] -H . . . ( ... -f- Ci" /;„ j?" [cos.(r„-t-He) +i/:rTsin. (r„H-«9)],

dans laquelle ies termes du second membre , et par conséquent ies modules

ne sauraient s'évanouir tous en même temps. Comme on aura d'ailieurs

/ /x [ /Tmo -f-a/i-h(vo-t-aX).,/lI7 I

on conclura de l'équation (i j)

.... -t- et" R^ j>" cc^s. ( 7",, H- n 9 ) , -\-cc" R^y sin. ( T„ -H «6) ;

F {uo-hÇi-h.Vo -hak)

H-[/Zsin.rH-aiî,j5sin.(r,-f-e)-h...-^a"iî„J'"siii.(r„H-«9)J'

Si dans cette dernière formule on pose ct-=o, on (Il tirera

Donc W^^A, Rz=zA' . Si maintenant on dévc-