I." PARTIE. CHAP. X

On trouvera pour ies valeurs correspondantes de v

ou , ce qui revient au même ,

Par conséquent , si l'on nomme ^^ , jr, , a:^ les trois racines de 1 équation ( i ) , on aura

(7) X, = clU-t-cl'V,

[ X^ — OiMJ -^ CL V.

H q^t essentiel d'observer que, U , clU , cC U étant

ies trois valeurs de z^=i((^,))' , et V , cC V , clV les valeurs correspondantes de i^ == ^— r» les

racines x„, .r, , jt^ , déterminées par les équations (7), seront respectivement égales aux trois valeurs de X données par la formule

(8) x = iz)y

Lorsque l'équation (6) a ses racines réelles, les formules (5) fournissent un système de valeurs réelles de u et de V qui se correspondent de manière à vérifier l'équation (4). Si l'on prend ces mêmes valeurs pour U et V , on reconnaîtra immédiatement que des trois racines :r<,, .r, , x^ la première es! iiécessai-

rcment réelle , et les deux autres réelles ou imaginaires, suivant que la quantité

est nulle ou positive, c'est-à-dire, suivant que l'équation (6) a ses racines égales ou inégales. Dans le premier cas, on (trouve

Lorsque les racines de l'équation (6) deviennent imaginaires , on peut les présenter sous ïa forme

Z, ==^(cos.G-t-j/— I sin.o) , Z^ =^{^cos.6 — ]/— i sln.B j ,

le module^ étant déterminé par l'équation *

Comme on a , dans cette hypothèse ,

((^.))^=/^ (-.} + /- si„.i)({.))T,

la formule (8) se trouve réduite à

^T[(eos. |hY=:7 sin. 1) ((.))T+^cos.1/I:T sin.-) -^^

De plus, en prenant pour ^l'expression imaginaire

j> i ( COS. H y — 1 sin. — j ,

on conclura des équations (7)