PARTIE. CIIAP

COS

or.

COS

(lû)

Ces trois dernières vaieurs de x sont toutes réelles , et coïncident avec celles que fournit la formule (9). Dans les calculs précédens , l'équation (6) , dont ia solution entraine celle de lequation ( i ) , est ce qu'on appelle la réduite. Ses racines -3,, -s, équivalent nécessairement à certaines fonctions des racines cherchées x^, .r, , x,. Pour déterminer ces fonctions, il suffira d'ohserver que, U et V désignant des valeurs particulières de 11 et v, on aura, en vertu des formules (5) ,

^i — IV , ^^ — r .

On tire d'ailleurs des équations (y)

•\U =z Xo -h a X, -t- a' -«•, = or [x ^ -f- a x, -i- a* x^)

= a' (x, -h a x^, -H OC" X, ) , :; {'= Xo H- ax, H- a' x^ =: a (x, -f^ a x^ -I- a* Xo)

= ût^ (x, -i- a Xo -H cL^ X \

On trouvera donc par suite

■j z^ = (xo -H ax^ -i-a- x,)^ = (x^ -H « x, -+- a-- x, ) '

= (x, -i-ax„ H-a^ xj5, j z^ = (xo -+- a X, -H a' X J ' = (x, -;- cf x, -H a.' .i\ ) '

V = ix^-hccx^-k-ct' X^)l

II en résulte que z, , z^ sont resjDeetivcment égales [à un coefficient numérique près] aux deux seules valeurs distinctes que présente le cube de la fonction linéaire

a:„ -i- et J7, -+- ût* x^ ,

lorsque dans cette fonction on échange entre eîles les racines j:„ , .r, , ^^ de toutes les manières possibles. Le coefficient numérique est évidemment -^

ou le cube de la fraction 4:.

Considérons maintenant l'équation générale du quatrième degré. On pourra, eu faisant disparaître le second terme , la ramener à la forme

(12) a:^ -\- p iv'^ -^ q j: -+- r ^= o ,

p , q, r désignant des quantités constantes. Si l'on pose en outre

u, V, w étant trois nouvelles variables , on en conclura

JC'- -:i îl'- -^ V^ -^ W'^ -^ l[uv -\rXlW -^ V w) ,

et par suite

ou , ce qui revient au même ,

f x^ — z{ii'' -\-v'' -^w'')x'' — % UVW .X (13) )