I." PARTIE. CHAP. X

Pour rendre cette dernière équation identique avec la proposée, il suffira d'assujettir les inconnues w, V , w aux conditions

(i4)( s uv w =z — q ,

I i6 [u^v^ -{-u^w^ -^v^iv^) = p^ — ^r.

La résolution de l'équation f i 2) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations (i 4)- Cherchons d'abord les valeurs de 4"% 4^% 4"^*- Si l'on fait

(15) iu' = z,, 4v' = z^, iw' = z^, on aura , en vertu des formules ( 1 4) »

-s.-t-^,-*-^, = — zp , z.z^-^-z.Zç^-z.z^ =p'—4r,

et par suite , en nommant z une nouvelle variable »

{z—z,) {z~z,) {z—z^) = z^-^^pz'-hip'—ii^z—q-.

Il en résulte que z, , z, , z^ seront les trois racines de l'équation

(16) z^ -\- zpz^ -^ [p' — 4^')-^ — 9'* = o >

et , puisque ces trois racines doivent vérifier la formule z, z^z^=: q^ , on peut assurer que l'une d'elles sera positive , les deux autres étant toutes deux àla-fois positives, ou négatives, ou imaginaires. Lorsqu'on aura déterminé ces mêmes racines , les deux

premières des équations (i^) fourniront pour chacune des variables u et v deux valeurs égales au signe près. Soient

les valeurs réelles ou imaginaires dont if s'agit; et ^f'^une quantité réelle ou une expression imaginaire déterminée par l'équation

^ UVfF=-q.

Si dans la seconde des formules (i4) on suppose

îl =^ ^ U , V =: -h- f^ ,

OU bien

on en tirera

w = -+- IV.

Si l'on y fait au contraire

îl z= ^ U , V = — V , ou bien

on trouvera

De cette manière on obtiendra pour les \ariabîes ^^, V, w quatre systèmes de valeurs propres* à vérifier les équations (i 4); et si l'on représente par .r., a\.