CHAPITRE XI

Décomposition des Fractions rationnelles.

5. 1." Décomposition d'une Fraction rationnelle en deux autres Fractions de même espèce.

Prenons pour /'(.r) et F{x) deux fonctions entières de la variable x.

sera ce qu'on appelle une ff-ac f ion rationnelle. Si l'on désigne par ??i le degré de son dénominateur /^(.r) , l'équation

admettra tn racines réelles ou imaoinaîres , éîrales ou inégales ; et si , en les supposant d'abord toutes inégales , on les représente par

les facteurs linéaires du polynôme Fi^x) seront respectivement

Cela posé , faisons

(2) F(a:) = (x-ar„)cp(.r),

3(3G COURS d'analyse.

et

Cp(.r„) n'étant pas nul, la constante A res'tera finie, et la clilîérence

s'évanouira pour x =: .v^. Par suite il en sera de même du polynôme

et ce polynôme sera divisible algébriquement par .r — x^\ en sorte qu'on aura

/(.r) -A<^ {x) = (.r - .r,) xi^jo) ,

(4) f{.i) =.A<^ (.r) -+- (.r - .rj ;^(.r) ,

^ (,^") désignant une nouvelle fonction entière de la variable x. Si l'on divise par F{x) les deux membres de cette dernière équation , en ayant égard à la formule (2), on en conclura

/GO A , x(x)

F[a:) X — Xo <p {x)

Donc , si Ton partage le polynôme F'[x) en deux facteurs dont f un soit linéaire , on pourra décomposer la fraction rationnelle r^\'^ : en deux autres

qui aient pour dénominateurs respectifs les deux facteurs dont il s'agit , et dont la plus simple ait un numérateur constant.