I." PARTIE. CIIAP. XI

Concevons maintenant qie l'on partage la fonction FÇr) en deux factems dont le premier, au lieu d'être linéaire , corresponde à plusieurs racines de l'équation /^(.r) = o. Prenons, par exemple, pour ce premier facteur le facteur du second degré

(.-r — .r„) (.1- — j:,) ; et posons en conséquence

(6) . Fia-) = (.r — jc^) [x — jc) y. C^ {a).

La fraction ,{ conservera une valeur finie, non-

seulement pour .r = j7„, mais encore pour x=^j.\ ; et, si l'on désigne par u un polynôme du premier degré qui', dans l'une et l'autre hypothèse , devienne

égal à \ , on trouvera [chapitre W , §. i .^' ] ,

Ç) (Xo) Xo— X, <P{J^J X,— Xo*

Le polynôme ti étant déterminé , comme on ^ ient de le dire , l'équation

ou

tl = o

comptera parmi ses racines .r„ et x, ; et par suiie le polynôme

sera divisible par le produit

{x — x,) (.r — .r, ). On aura donc

3G8 COURS d'analyse.

f{a) - w Cp (.r) :r= (.r - .r„) {x - x.) ;^ (^•) ,

^ (.r) désignant une nouvelle fonction entière de la variable jc. Si l'on divise la dernière équation par F(.v), en ayant égard à la formule (6), on en conclura

/ \ f i^) ^ | XW

On prouverait de même qu'il suffit de poser

(i o) F{^) z= {x—x^) {x—x,) {x—x)<:^[x) , et

[^^y>o) (x-r.) (.r-r J ^ /(.r,) (.r-^J (x-x J /(xj (x— xj (x— X,)

pour obtenir une équation de la forme

/GO " ^ XW

/ (x) (.r— xj (x— X,) (x— X J ?) (x)

&c Ainsi généralement, lorsque l'équation

F{.r)=:o n'a pas de racines égales, si l'on partage le polynôme Fi^u^ en deux facteurs dont le premier soit le produit de plusieurs facteurs linéaires , la fraction

rationnelle .-^ l, sera décomposable en deux autres

fractions de même espèce qui recevront pour dénominateurs respectifs les deux facteurs ci-dessus mentionnés , et dont la première aura un numérateur d'un degré moins élevé que son dénominateur.