I." PARTIE. CHAP. XI

Je passe au cas oii Ton suppose que l'équation F(^.r)=:o a des racines égales. Soient, dans cette seconde hypothèse ,

les diverses racines de cette même équation, et désignons par m le nombre des racines égales à a, par ni le nombre des racines égales à b , par m' le nombre des racines é!7;aîes à c , <kc. ... La fonction /*'(.r) sera équivalente au produit

{x — a)"" [x — bf" [x — cf" ... ,

ou à ce produit mullipiié par un coefficient constant , et fou aura

Cela posé , faisons

et

Cp [a) n étant pas nul , la constante A restera finie , et la did'eieuce

^Vn-anouira pour x = a. On en conclura que le polynôme

TOM. 1. A a

est divisible par jc — a, et l'on aura par suite

^(.r) désignant une nouvelle fonction entière de ia variable œ. Enfin , si l'on divise par F{.r) les deux membres de l'équation (15) en ayant égard à la formule (13)» on trouvera

On démontrerait, en raisonnant de la même manière , qu'il suffit de poser

( 1 7) Fix) = {x-ay [a:-^bf <^ (.r) ,

et

pour obtenir une équation de la forme

/W " . xw