une fraction qui aura pour dénominateur

En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du ])olvnome

tous les facteurs linéaires qu'il renferme ; en sorte qu'on réduira déiinitivement ce polynôme à kv constante k. Donc , lorsque , par une suite de décompositions partielles semblables à celles que nous venons d'indiquer, on aura extrait de la friic-

tion ■{},. une suite de fractions simples de la

forme

le reste ne pourra être qu'une fraction rationnelle à dénominateur constant , c'est-à-dire , une fonction entière de la variable '.r. En désignant par R cette fonction entière , on trouvera

m =. fi ^- diL ^ -A ^ :l^

T."^ partit:, chap. xi. 373

iî reste iiiaintenaiit à savoir quelles sont îes valeur.'» des constantes

Ces valeurs se déduiraient sans difficulté de la méthode de décomposition indiquée dans le premier paragraphe. Mais on parvient plus directement à leur détermination à l'aide des considérations suivantes.

Si l'on multiplie par F{jo) les deux membres de l'équation (3) , on en tirera

Si dans les deux membres de cette dernière formule on fait

la sonmie

RF(,^^A^S^^A^S^^...-.A,^,

qui est évidemment un polynôme en .v divisible par a: — x„, prendra la forme

Z désignant une fonction entière de :;; et l'on aura par suite

(5) /(.r.-H.) = .4.^'^^-iUrZ.

Supposons maintenant que la substitution de x^z au lieu de iv dans la fonction F (^x) donne généralement

(6) F{^^z) == F{x)-^zF,{a:)-i-z' F,(^)-H&c...

On en déduira

et l'équation (^) deviendra

Lorsqu'on fait dans cette dernière z=o , elle se réduit à

/(x.) = A^ F. (x.) ; et l'on en conclut

On trouverait par un calcul entièrement sembiabie

Les valeurs qu'on vient d'obtenir pour 4 A 4 A