I." PARTIE. CHAP. XI

sont évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle

i~- ; d'où il résulte que cette fraction ne peut être

décomposée que d'une seule manière en fractions simples qui aient pour dénominateurs les facteurs linéaires du polynôme /^(■^) avec des numérateurs constans.

II est aisé de voir comment l'équation (7) et la formule (3) du paragraphe précédent s'accordent entre elles. En effet, F,[.i\) est ce que devient le polynôme

/•,(^.) + zF.(^„)-^&c... =li£"^=£M,

lorsqu'on y fait ;:; = o , ou .r = .r<, ; et par suite , si l'on Dose

on aura F, (j7„) = Cp (x^) ,

Pour montrer une application des formules cidessus établies , supposons (ju'il s'agisse de décomposer en fractions simples la fraction ratioaneile

n désignant un nombre entier inférieur ù 7n. On aura dans ce cas particulier

et , si {'on représente par h r.n nombre entier qui ne surpasse pas — , les diverses racines de 1 équation /^(j-) =r o, toutes inégales entre elles, seront com])rises dans la formule

COS

=b ■)/— I sin.

Soit a XwwQ de ces racines ; et cherchons le numéniteur A de ia fraction simple qui a pour dénominateur x — a. Ce numérateur sera

ia valeur de F, (ci) étant déterminée par l'équation

F [a) -h- zF, {a) -h &c

et par conséquent égale à wa""". On trouvera par suite

ma"~^ m

Comme on a d'aiileurs

/ ih-TT . — . ih-n \n+■l-■'^

I C05. — "l/~' sin.

COS

■j/— I sin.

oiî conclura de ce qui précède, en faisant, poi^r abréger ,

00 i?i^ = fl,

1/' PARTIE. CHAP. Xt.

fi^)

I COS. 2 0 -I- yZrr sin. 29 COS. 29 — y'HTsin.iÇ

r — ! ZTT . ZTT ZTT , . zrt

X — COS. ^,' — 1 sin. X — COS. — - -\-y — 1 siu. —

COS. 4? -f- y'i «in. ^^

COS. l9 — V — 1 sin.

X— COS. — — v'isin. — m m

X — COS. i-y — ' i*'"-

-4- écc

On trouverait, en raisonnant de la mémo manière,

COS. 9

COS. 9-+- 1/— ( •'^i^.9

X — COS. 1/ — 1 sin. —

COS. ;59 -H v/^ ?in. :;9

J:"— COS. ^ 1^ — isin.- — x— cos.^^ \-}/ iSin. —

:os. ^Ç — /- I sin. :;9

H est essentiel d'observer que la dernière des fractions simples comprises dans le second mrmbre de l'équation (i 2) ou (1 3) sera, pour des valeurs paires de m, s'il s'agit de l'équation (12), et pour des valeurs impaires de ?/i^ s'il s'agit de l'équation (12) ,

COS. m 9

Ainsi, j)ar exemple, on aura

' ^ <■ - I - \ .7 — 1 .rn-i y '

COS. — Hy— I sin. — cos. y — i sin. —

X— COS. i/i Sin. — X— COS. — h y i sm. —

6cc.

On peut remarquer encore que, si dans le second membre de l'équation (12) ou (13) on réunit par l'addition deux fractions simples correspondantes à deux facteurs linéaires conjugués du binôme ,r'"d=i , la somme sera une nouvelfe fiaction qui aura pour dénominateur un facteur réel du second degré , et pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable j:. On trouvera, par exemple, en prenant n = o , m=:^ ,

2 j: COS. 1

(17)/ \^ ^ .j;COS. --t- I /

^ ^( izi^ -H-^Y

Il est facile de généraliser cette remarque ainsi qu'il suit.

Supposons que, les fonctions entières f{^)f Fi^jc) étant réelles , on désigne par