I." PARTIE. CHAP. XI

ot -f- o )/— i , et — Q y/— 1

deux racines imaginaires ccinjuguées de l'équation (i) ; et prenons pour A et B deux quantités réelles propres à vérifier la formuie

Fjjc) représentant toujours le coefïîcient de z dans le développement de F{.v-\-z). On aura nécessairement

et , par suite , si l'on décompose la fraction rationnelle cf-^ ■, It^s deux fractions simples correspondantes aux facteurs linéaires conjugués

JC — CL — C]/— 1 , JC — Ct-t-C|/— I

seront respectivement

vc y tj

J' — et — t y — 1 X — a. -f- la Y — 1

En ajoutant ces deux fractions , on obtiendra la suivante '

(x — cLy -H e'^

Cette dernière , qui a pour numérateur une fonc-t tion réelle et linéaire de la variable .r , et pour dénominateur un facteur réel du second degré du polynouie F' .r) , ne difTère pas de la fraction

(x — Xo) {x — X j )

que renferme ia formule (9) du premier paragraphe, dans le cas où l'on suppose

.r„ = cc-+-

Qy/—i, ir,=:cL — G]/— I.

5. 0/ Dr'compo.nlwn d'tuie Fvaciion rationnelle dontuie en d'autres plus simples qui aient pour dénomiîiafeurs respectifs les facteurs linéaires du dénominateur de la première , ou des puissances de ces niême^ facteurs , et pour numérateurs des constantes.

Soient

■LZlfL

la fraction rationnelle que l'on considère , m le degré du poiynome F{.v), et

ies diverses racines de l'équation

On aura, en désignant par k un coefficient constant, et par m , m" , vî" , &c.... plusieurs nombres entiers dont la somme sera égale à m ,

(2) F{jc) = k[x—aY' [x—bf" (.r— c)""" ...

Cela posé , si l'on fait usage de la méthode exposée dans le premier paragraphe , l'on décomposera la

l.-^ PAKTIE. CHAP. XI. 381

fraction rationnelle "^ ' - ta deux iiuties duiit la. première sera de ia foraie

tandis que îa seconde aura pour dénoniinateur

En décomDOsant cette seconde fraction ra-iionnelie ])ar ia ménie méthode, on obtiendra., i .° unenou-s veile fraction simple

dans laquelle^, représentera une constante, 2. "une fraction qui aura pour dénominateur

k {.x—aY'-' {.v—bf" [x—cy " ....

En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynôme F [ .r^ les diiferens facteurs linéaires dont se compose la puissance (jt — a)"'' ;

et , lorsqu'on aura extrait de v.'- i une suite de

fractions simples dé la forme

(.r-o)"" ' (x-rt)'"'-' ' [^x—u,

ie reste sera une nouvelle fraction rationnelle dont le dénominateur se trouvera réduit à

k{x — by"" u — cY'" . ..

38â COURS d'analyse.

Si de ce reste on extrait une seconde suite de fractions simpies de ia formé

on obtiendra un second reste dont le dénominateur sera ^

Enfin , si l'on prolonge ces opérations jusqu'à ce que le polynôme F(.r) se trouve réduit à la constante k, le dernier de tous ies restes sera une fraction rationnelle à dénominateur constant, c'est-à-dire, une fonction entière de la variable .r. Appelons R cette fonction entière. On aura définitivement pour la

valeur de r^fi décomposée en fractions simpies

F {.r) (x — af" (x — «)"

C , C, , .... C„,0, ; 6cc. . . .

désignant des constantes que Ton peut facilement déduire des principes exposés dans le premier paragraphe , ou caicuier directement à l'aide des considérations suivantes.

I/*- PARTIE. CHAP. Xt. 383

Faisons , pour plus de commodité ,

(x—cj -+- &C

{X-Cj""" '

Q sera une nouvelle fonction entière de la variable X , ei l'équation (3) deviendra

t (j-j {x — (if'' {x — a)'"'"' X — a

ix — 6)'''" {x — c/'" ....

Si l'on multiplie les deux membres de cette dernièiv par

F{x) = k{x~df (x — hY" [x — cf'"

on en conclura

I ^kQ{x-aY'',

et par suite , en faisant

X ^i=i a -+- z , on trouvera

X (îésignaijt la valeur du polynôme k Q exprimée en fonction de z. Supposons maintenant que ia substitution de .v-{-z, au Heu de .r, dans les fonctions

/'(.r) et F[^r) donne généralement

ifix^z) — /{.:(•) -i- z f\ (.r) H- ^ \/, (j;) -t- &c . . . F[x-^-z) = F{.i)-^z F^ {.r)-^z^ F, (.r)H- -^z""F^,,{^-)~^z""-'F,^,^^{u-)-^kc.

On aura, en prenant j^=a-¥-Zj et observant que le développement de la fonction

doit être divisible par {j: — a)"'' ^^z"" ,

(9) F(«) = o, F,(«) = o, ... F„,(«) = o. Cela posé, la formule (6) se trouvera réduite à

et l'on en tirera , en éj>alant dans les deux membres les coefficiens des puissances semblables de z ,

Oiî trouvera par un ciilc;.;! entièrement semblable

i." PARTIE. CHAP. XI. 385

f f{h) = BF^.{b),Ub)=Bj„.{b)+BF„.,^,{b),fJl):=^c...

■ ■ ,'\ Ces diverses équations suffiront pour fixer complètement les valeurs des constantes A , A, , A^-, . . .

B, B,, B,, ... C, C,, C,, ... &c Elles

donneront , pai' exemple ,

Les constantes ainsi déterminées étant évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle -4—- , il en résulte

que cette fraction est décomposable d'une manière seulement en fractions simples de la forme de celles que renferme le second membre de l'équation (3),

Il est aisé de voir que la première des équations (13) s'accorde avec la formule (i4) du premier paragraphe. En effet, la quantité F^,{a) est ce, que devient le polynôme

Fm' («) -^- zFm'^X^) -»- ^^Fm'^.{a) -^ &c...

lorsqu'on y fait 5 = 0 ou x=a; et par suite, si l'on pose

TOM. I. Bb

(i4) F\jc) = {x-aY'<^{a:),

on aura F^,[a) = Cp {a) ,