Considérations générales sur les Séries récurrentes

Une série

(i) rt„, a,x, a^x% «„-^^ &c. ...,

ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable .v, est appelée récurrente, lorsque dans cette série , considérée à partir d'un terme donné, le coefficient d'une puissance quelconque de la variable s'exprime en fonction linéaire des coefficiens des puissances inierieures pris en nombre fixe ; en sorte qu'il suffise de recourir aux valeurs de ces derniers coefficiens pour en déduire celui que l'on cherche. Ainsi, par exemple, la série

(2) I, 2J7, 3.^"', (ll-^iyv", ^C...

est récurrente , attendu que , si l'on fait

on aura constamment pour des valeurs de n supérieures à f uni té

En général , la série ( i ) sera récurrente , si , pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite , les coefficiens

û?- , , Cl,

de plusieurs puissances consécutives de x se trouvent liés entre eux par une équation du premier degré. Soit

(4) ka„„'^r-la„„^. H- ... -H/a„, -^qa^ — o

i équation dont ii s'agit, k, l, . . . p , q désignant des constantes déterminées. La suite de ces constantes formera ce qu'on appelle \ échelle de relation de la série , échelle dont les constantes elles-mêmes seront les diiïerens termes.

Dans la série (i), supposée récurrente, la variable ûc et les coeïïiciens a^^ «, , «^, .... a„ peuvent être ou des quantités réelles, ou des expressions imaginaires. Cela posé , représentons par f„ le module de l'expression «„ , et par conséquent la valeur numérique de cette expression , lorsqu'elle est réelle. On conclura immédiatement des principes établis dans les VI.* et IX. " chapitres que la série (i) sera tantôt convergente , tantôt divergente , suivant que le module ou la valeur numérique de .r sera inférieur ou supérieur à la plus petite des limites vers lesquelles converge, tandis que n croît indéliniment,

l'expression [f„ ) " .