I." PARTIE. CHAP. XII

5- 2/ Développement des Fractions rationnelles en Séries récurrentes.

Toutes les fois qu'une fraction rationnelle peut se développer en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable, cette série est en même temps récurrente, ainsi qu'on va le faire voir.

Considérons d'abord la fraction rationnelle

dans laquelle a, A désignent deux constantes réelfes ou imaginaires , et m un nombre entier. Elle pourra se mettre sous la forme

et sera développable , aussi bien que l'expression

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x , si

la valeur numérique du rapport — supposé réel ,

ou le module du même rapport supposé imaginaire, est une quantité comprise entre les limites o et i . Cette condition sera remplie, si le module de la variable x , module qui se réduit à la valeur numérique de la même variable quand celle-ci devient imaginaire , est inférieur au module de la constante

a ; et ion aura , dans cette hypothèse ,

i.z.^...{in — 1) i.2.3..,(m— 1) a i.2,y..(m—i) o*

On trouvera par suite

et , si l'on fait pour abréger

( {~ir^^^ = a^, &c

on obtiendra l'équation

Concevons maintenant que i'on multiplie îes deux membres de l'équation précédente par (a—.v)'" : on en tirera

:=,o'"(ao -1- a, X -l-fi^ x* -h-.. .H-Om J^'" -»-«m+i ^'"*' H- &c. , .)

— — a'"-'(flo:t-j-d,Jr*-t-...-H«„,j;"'-f- «„ x""* ' -h &c. . . )

i;(ff, x'"-^ rt, ^'"*'-+-&c...),