I." PARTIE. CHAP. XII

OU , ce qui revient au même ,

a"'a^ a'"-' a, ■+■ — oT^ a^\x^ -\-

Cette dernière formule devant subsister toutes les fois que le module de la variable x est inférieur au module de ia constante a, par conséquent, toutes les fois que Ton attiibue à x une valeur réelle peu différente de zéro , on en conclura, par des raisonnemens semblables à ceux que nous avons employés pour démontrer le ô.*" théorème du VI.^ chapitre

f «"a^ ' a'"— a. -\ ^ ^ a""-* fl,, = o , &c.... ,

et généralement

il est essentiel de remarquer que lequution (c)) a iieu seulement pour des valeurs entières de w égales ou supérieures à m , et qu'elle doit être remplacée, lorsqu'on suppose n < m, par l'une des formules (8).

De plus, comme I équation (9), étant linéaire par

rapport aux constantes

donnera pour la première de ces constantes une fonction linéaire de toutes les autres , il en résulte que dans la série

(10) rt„^ a,.z-, a^a:\ ... a^jc" , &c. . . .

considérée à partir du terme a^x"" , le coefficient d'une puissance quelconque de x s'exprimera en fonction linéaire des coefficiens des puissances inférieures pris consécutivement et en nombre égal à m.^ Cette série sera donc l'une de celles que nous avons nommées récurrentes.

Parmi les diverses formules particulières qu'on peut déduire de l'équation (3), il est bon de remarquer celles qui correspondent aux deux suppositions, mz=:i, 711=2. On trouve dans la première hypothèse

et dans la seconde

(12) z -= —-^ 2-yX -h2 —rX -+- 4.-^x'-i-6iC.

Les deux formules précédentes, dont la première détermine la somme d'une progression géométrique, subsistent, ainsi que l'équation (3), toutes les fois que le module de x est inférieur au module de a. Lorsque dans l'équation ( 1 2) on fait en même temps