I." PARTIE. CHAP. XII

on obtient la suivante

qui a pour second membre la somme dç la série (2) [§. I-"], et suppose ie module de x inférieur à l'unité.

Considérons maintenant une fraction rationnelle quelconque

f{^) , -^(•^) étant deux fonctions entières de la variable .r. Représentons par a, b, c, ... les diverses racines de l'équation

par vi' le nombre des racines égales à a , par m" le nombre des racines égales à b , par ?ji' le nombre des racines égales à c^ &;c. . . . , et par k le coefficient de la plus haute puissance de a: dans le polynôme F (a:) ; en sorte qu'on ait

( 1 6) F{.r) rrr k (.r-«)'"' Çv-b)""' (.r-c)'" '"....

La méthode exposée dans le chapitre précédent fouinira, pour la décomposition de la fraction rationnelle

• frl^ en fractions simples , une équation de la forme

C 6". Cn

{x—cY"' ^ (ar-c)"""-' ••• x-c

H- 6iC ,

A , A,, ... B, B,^ ... C, C, , . .. &c. . . désignant des constantes déterminées , et R une fonction entière de X qui sevanouira lorsque le degré du polynôme y(^) sera inférieur à celui du polynôme F{.r). Cela posé , concevons que le module de la variable .r soit inférieur aux modules des diverses racines a,

b , c , , et par conséquent au plus petit de ces

modules. On pourra développer chacune des fractions simples que renferme le second membre de l'équation (ly) en luie série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable .r; puis , en ajoutant les développemens ainsi formés au polynôme R, on obtiendra une nouvelle série convergente toujours ordonnée suivant les puissances ascendantes de jc , et dont la somme sera équivalente à la fraction rationnelle ' .-'^, . Soit

(18) «„, a,x, a^x'^ y ... a,jX* , &c. ... la nouvelle série dont il est ici question. La formule

( ' 9) TC^ = «o -^ ^r -^ -+- «. .'^' -+- &C

subsistera toutes les foi» que cette nouvelle série