I." PARTIE. CHAP. XII

sera convergente , c'est-à-dire , toutes les fois que le module de la variable x sera inférieur au plus petit des nombres qui servent de modules aux racines de f équation (i 5). J'ajoute que la série (18) sera toujours une série récurrente. C'est ce que l'on prouvera aisément ainsi qu'il suit.

Désignons par m la somme des nombres entiers vî , m" , m" , . . . , ou , ce qui revient au même , le degré du polynôme Fijc) , et faisons en conséquence

(20) F{x) = k x'"-^- Ix'"-' -H -^-px -+- q ,

k, l, p , q représentant des constantes réelles

ou imaginaires. L'équation (19) deviendra

(2O -7-ïs , J, = ao-^fl,x-^c^,.r'-^-&c.,

Après l'avoir mise sous la forme

{q-\-j>x-^ -4- /x"""' -\-kx")y. (a„-hn,xH-a^x* H-&c...),

on en tirera , en développant le second membre comme on l'a fait pour l'équation (6) ,

/ (j) z= ça, -h (ya, H-;,aJr -1- &c

-h Sec

Cette dernière formule devant subsister tant que le module de la variable x est inférieur aux modules des constantes a, h , c, ... , on démontrera, par des raisonnemens semblables à ceux dont nous avons fait usage pour établir le 6.* théorème du VI. ^ chapitre [§.4]' ^l^G les coefficiens des puissances semblables de Jc dans les deux membres sont nécessairement égaux entre eux. Il en résulte i ." que les coefficiens des diverses puissances de x dans les différens termes du polynôme y"(.r) sont respectivement égaux aux coefficiens des mêmes puissances dans la série dont la somme constitue le second membre de l'équation (23), 2.° que dans cette série les coefficiens des puissances dont l'exposant surpasse le degré du polynôme /'(.^•) se réduisent à zéro. D'ailleurs, si l'on considère un terme de la série dans lequel l'exposant 7i de la variable x surpasse le degré du polynôme /"(x) , et soit en même temps égal ou supérieur à m , ce terme sera de la forme

Donc , toutes les fois que la valeur Ae n, étant supérieure au degré du polynôme /(-r) , sera de plus égale ou supérieure au degré m du polynôme F(.r), les coefficiens

se trouveront assujettis à l'équation linéaire (24) qa„-^pa„.,^.., -h la„„^, -^ka„„, = o ;