I." PARTIE. CHAP. XII

et par suite, pour une semblable valeur de 7i , le coefficient a„ de la puissance x"* s'exprimera en fonction linéaire de ceux des puissances inférieures prises consécutivement au nombre de m. La série ( I 8) sera donc l'une de celles que l'on nomme récurrentes. Son échelie de relation se composera des constantes

respectivement égales aux coefficiens des diverses puissances de œ dans le polynôme F(x).

Parmi les séries qui représentent les développemens des fractions renfermées dans le second membre de la formule (17), et qui sont toutes convergentes dans ie cas où le module de la variable a: reste inférieur aux modules des diverses racines de l'équation (15), l'une au moins deviendrait divergente, si le module de la variable venait à surpasser celui de quelque racine. Par suite la série (18), toujours convergente dans le premier cas, sera divergente dans le second. D'autre part, si l'on fait croître indéfiniment le nombre entier n , et si fou désigne par^^ le module du coefficient a^ dans la série (i 8), cette série sera convergente ou divergente [voyez ie §. I .^"^ ] suivant que le module de x sera inférieur

ou supérieur à la plus petite des limites de (y5„) " . Comme les deux règles de convergence que nous venons d'énoncer doivent nécessairement s'accorder entre elles, on peut condiu-e que le plus pcl il des modales qui correspondent aujc racines de l'cqua-

tion (i j) est précisément égal a la plus petite des

limites de V expression (/,,) " •

Lorsque les deux fonctions jr( a:) , Fi^x^ sont réelles , le coefficient a^ l'est aussi , et son module j>^ ne diffère pas de sa valeur numérique. Si dans la même hypothèse l'équation F{x^ = o n'a que des racines réelles , la racine qui aura la plus petite valeur numérique sera , d'après ce qu'on vient de dire , égale ( au signe près ) à la plus petite des

limites de ( p„) " . Enfm si le rapport —^ — con-

verge vers une limite fixe , on pourra la substituer

[chap. n, §. 3 , 2.^ théorème] à la limite cherchée

de l'expression (^) " . Cette remarque conduit à la règle qu'a donnée Daniel Bernoulli pour déterminer numériquement la plus petite ( abstraction faite du signe ) de toutes les quantités qui représentent les racines supposées réelles d'une équation algébrique.

^. 3.' Sommation des Séries récurrentes, et fixation de leurs Termes généraux.

Lorsqu'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable x est à -la -fois convergente et récurrente, elle a toujours pour somme une fraction rationnelfe. En effet, soit