I/' PARTIE. CHAP. XII

une semblable série ; et supposons que , pour des valeurs de n supérieures à une certaine limite , le coefficient «„ de ia puissance x" soit déterminé , en fonction linéaire des coefficiens des puissances inférieures pris en nombre égal à n, par une équation de la forme

(2) ka,^^-+- la„„^^-+. . . . 4-/>«„,-t- qa„ =: o , en sorte que les constantes

forment l'échelle de relation de la série. Si fon multiplie la somme de cette série , savoir ,

par le polynôme

kx"^ -\- lx^~* -f. , . , -^ px -^ q ,

le produit obtenu sera la somme d'une nouvelle série dans laquelle le coefficient de jr% calculé comme dans le chapitre VI [ §. 4 , ^ .^ théorème ] , s'évanouira pour des valeurs de n supérieures à la limite assignée. Eu d'autres termes, le produit dont il est question sera un nouveau polynôme d'un degré marqué par cette limite. Si l'on désigne ce nouveau polynôme par/(.r), on aura

et par suite

(4) «oH-«,^-t-a,^^^&.c...= ——4ifL .

TOM. 1. j,ç

iO^ COURS d'analyse, Ï/* part. Ciï. XII. Donc toute série , qui , ordonnée suivant les puis*sances ascendantes et entières de la variable jc , est à-k-fois convergente et récurrente , a pour sotnme une fraction rationnelle , dont le dénominateur est un polynôme dans lequel ies puissances successives de jv ont pour coefficiens les dififérens termes de l'échelle de relation de la série.

Lorsque pour faire connaître une série récurrente on donne seuiement ses premiers termes , et IccheHe de relation qui sert à déduire des premiers termes tous ceux qui les suivent , on détermine sans peine , ïi. i aide de la méthode que nous venons d'indiquer , la fraction rationnelle qui représente la s-omme de la série dans le cas où elle demeure converg^ente. Cette fraction rationnelle étant calculée , on pourra lui substituer une somme de fractions simples augmentée, s'il y a lieu, d'une fonction entière de la variable x ; et , si Ton cherche ensuite les sé4'ies récurrentes qui , pour des valeurs de .r convenableftient choisies , expriment les développemens des fractions simples dont il s'agit , on obtiendra , en ajoutant les termes généraux de ces mêmes séries, le terme géaéral de la- série proposée.

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