ADDITION ET SOUSTRACTION

Sommes et différences des nombres. Ajouter au nombre A le nombre B, ou, en d'autres termes, faire subir au nombre A l'accroissement -+- B , c'est ce qu'on appelle faire une addition arithmétique. Le résultat de cette opération s'appelle somme. On l'indique en plaçant à la suite du nombre A son accroissement -\- B , ainsi qu'il suit :

On ne démontre pas, mais on admet comme évident, que la somme de plusieurs nombres reste la même dans

quelque ordre qu'on les ajoute. C'est un axiome fondamental sur lequel reposent l'arithmétique , l'algèbre , et toutes les sciences de calcul.

La soustraction ainthmétiquc est l'inverse de l'addition. Elle consiste à retrancher d'un premier nombre A un second nombre B, c'est-à-dire , à chercher un troisième nombre C qui , ajouté au second , reproduise le premier. C'est-Ià aussi ee qu'on appelle faire subir au nombre A la diminution — B. Le résultat de cette opération se nomme différence. On l'indique en plaçant à la suite du nombre A la diminution — B , ainsi qu'il suit ,

Quelquefois on désigne la différence A — B sous le nom âî excès , ou de reste , ou de rapport arithmétique entre les deux nombres A et B.

SOMIMES ET DIFFÉRENCES DES QUANTITÉS. NouS aVOnS expliqué dans les préliminaires ce que c'est qu'ajouter deux quantités entre elles. En ajoutant plusieurs quantités les mies aux autres , on obtient ce qu'on appelle leur somme. Il est facile de démontrer , en s'appuyant sur l'axiome relatif à l'addition des Hombres , la proposition suivante.

4.*^ Théorème. La somme de plusieurs quantités reste la même, dans quelque ordre qu'on les ajoute.

On indique la somme unique de plusieurs quantités par la simple juxta-position des lettres qui représentent soit leurs valeurs numériques, soit les quantités riies-mémes, chaque lettre étant précédée du signe qu'elle doit avoir pour rester ou devenir propre à exprimer la quantité correspondante. Les différentes lettres peuvent d'ailleurs être disposées dans un ordre quelconque ; et il est permis de supprime^

ie signe -4- devant la première lettre. Considérons, par exemple, les quantités

Leur somme pourra être représentée par l'expression

Dans une semblable expression , chacune des quantités

est ce qu'on appelle un monôme. L'expression elle-même est un polynôme dont les monômes en question sont les difTérens termes.

Lorsqu'un polynôme renferme seulement deux , trois , quatre .... termes, il prend le nom de binôme , trinôme, quadrinome ,

On prouve aisément que deux polynômes dont tous les termes sont égaux et de signes contraires , représentent deux quantités opposées.

La différence entre une première quantité et une seconde , c'est une troisi^me quantité qui , ajoutée à Ja seconde, reproduit la première. En partant de cette définition, on démontre que , pour soustraire d'une première quajitilé a U7ie seco?ide quantité b, il suffit d'ajouter . à la première la quantité opposée à b, c'est-à-dire , — *. On en conclut que la différence des deux quantités a et 6 doit être représentée par

Nota. La soustraction étant l'inverse de l'addition peut toujours s'indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité c est la diflérence des deux quantités a eX. b , on peut écrire indifféremment

a — b =: c ou a = è -4- c.

KOTIÎ I."' 409

HULTIPLICATION ET DIVISION.

Produits et qlotiens des nombres. Multiplier îe nombre A par le nombre B , c'est opérer sur le nombre A précisément comme on opère sur l'unité pour obtenir B. Le résuitat de cette opération est ce qu'on appelle îe •produit de A par B. Pour bien comprendre la définition précédente de la multiplication , il faut distinguer différens cas suivant l'espèce du nombre B. Or ce nombre peut être tantôt rationnel, c'est-à-dire, entier ou fractionnaire, tantôt irrationnel, c'est-a-dire , non rationnel.

Lorsque B est un nombre entier , il suffit , pour obtenir B , d'ajouter l'unité plusieurs fois de suite à ellemême. Il faudra donc alors , pour former le produit de A par B , ajouter le nombre A à lui-même un pareil nombre de fois , c'est-à-dire , faire la somme d'autant de nombres égaux à A qu'il y a d'unités dans B.

Lorsque B est une fraction qui a pour numérateur m , et pour dénominateur // , l'opération , par laquelle on parvient au nombre B , consiste à partager l'unité en n parties égales , et à répéter vi fois le résultat trouvé. On obtiendra donc alors le produit de A par B , en partageant le nombre A en n parties égales, et répétant l'une de ces parties m fois.

Lorsque B est un nombie irrationnel, on peut en ob^ tenir en nombres rationnels des valeurs de plus en phis approchées. On fait voir aisément que dans la mém.e Iivpothèse le produit de A par les nombres rationnels dont il s'agit s'approche de plus en plus d'une certaine limite. Cette limite sera le produit de ^ par B. Si l'on suppose, par exemple, B:=zo, on trouvera une limite nulle, et l'on en conclura que le produit d'un nombre quelconque par zéro s'évanouit. ^

Dans ia multiplication de A par B, le nombre A s'appelle midliplicande , et le nombre B mulliplicaleUr. Ces deux nombres sont aussi désignés conjointement sous le nom Ae facteurs du produit.

Pour indiquer le produit de A par B , on emploie indifféremment l'une des trois notations suivantes :