B^A, B.A. BA

Le prediiit de plusieurs nombres reste le même dans quelque ordre qu'on les multiplie. Cette proposition , lorsqu'il s'agit de deux ou trois facteurs entiers seulement, se déduit de l'axiome relatif à l'addition des nombres. On peut ensuite la démontrer successivement , i .° pour deux ou trois facteurs rationnels; 2.° pour deux ou trois facteurs irrationnels ; 3.° enfin pour un nombre quelconque de facteurs rationnels ou irrationnels.

Diviser le nombre A par le nom?kre B , c'est chercher im troisième nombre dont le produit par B soit égal à A . L'opération par laquelle on y parvient s'appelle division, et le résultat de cette opération quotient. De plus , le nombre A prend le nom de dividende , et le nombre B celui de diviseur.

Pour indiquer le quotient de A par B , on emploie à volonté l'une des deux notations suivantes

Quelquefois on désigne le quotient A : B sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux nombres A et B.

L'égalité de deux rapports géométriques A .B, C '.D , ou , en d'autres termes , l'équation

NOTE l/^ 411

«st ce qu'on appelle une proportion géométrique. Ordinairement au iieu du signe = on emploie le suivant : : qui a la même valeur , et l'on écrit

Nota. Lorsque B est un nombre entier , diviser A par B, c'est, d'après la définition, chercher un nombre qui répété B fois reproduise A. Cest donc partager le nombre A en autant de parties égales, qu'il y a d'unités dans B. On conclut facilement de cette remarque que , si m et n désignent deux nombres entiers, la îi.'"" partie de l'unité devra être représentée par

cl la fraction, qui a^our numérateur m, et pour dénominateur îi, par

Telle est , en effet , la notation par laquelle on doit naturellement désigner la fraction dont il s'agit. Mais , comme on prouve aisément que le produit m x — est équivalent

au quotient de m par «, cest-à-dirc, à — , il en résulte

que la même fiaction peut être représentée plus simplement par la notation

Produits et quotiens des quantités. Le produit d'une première quantité par une seconde , est une troisième quantité qui a pour valeur numéri({ue le produit des valeurs numériques des deux autres, et pour signe le produit de leurs signes. Multiplier deux quantités l'une par J autre, c'est former leur produit. L'une des deux quantiît^s

412 NOTE l."'

s'appelle midliplicateur , l'autre multiplicande , et toutes les deux conjointement facteurs du produit.

Ces définitions étant admises, on établira facilement la proposition suivante.

5.' Théorème. Le j)'i'oduit de plusieurs quantités reste le même , dans quehpie ordre qu'on les multiplie.

Pour démontier cette proposition , il suffit de combiner la proposition semblable relative aux nombres avec le 3.' théorème relatif aux* signes [voyez ci -dessus, page 405].

Diviser une première quantité par une seconde , c est chercher une troisième quantité qui multipliée par la seconde reproduise la première. L'opération par laquelle on y parvient s'appelle division ; la première quantité dividcnde , la seconde diviseur, et le résultat de l'opération quotient. Quelquefois on désigne le quotient sous le nom de rapjjort ou raiso?i géométrique des deux quantités données. En partant des définitions précédentes , on prouve facilement que le quotient de deux quantités a pour valeur numérique le quotient de leurs valeurs numériques, et j)our signe le produit de leurs signes.

La multiplication et la division des quantités s'indiquent tout comme la multiplication et la division des nombres.

Nous dirons que deux quantités sont inverses l'une de l'autre , lorsque le produit de ces deux quantités sera l'unité. D'après cette définition , la quantité a aura pour inverse — , et réciproquement.

On a remarqué plus haut que ce qu'on appelle fraction en aiithmétique est égal au rapport ou quotient de deux nombres entiers. En algèbre, on désigne aussi sous le nom ch fraction le rapport ou quotient de deux quantités quel-

conques. Si donc a et 6 représentent deux quantités, leur rapport -^ sera une fraction algébrique.

Nous observerons encore que la division, étant une opération inverse de la multiplication, peut toujours s'indiquer de deux manières. Ainsi, pai- exemple, pour exprimer que la quantité c est le quotient de deux quantités a et ^ , on peut écrire indifieremment

-7- = r , ou a ■= b c.

Les produits et quotiens de nombres et de quantités jouissent de propriétés générales auxquelles on a souvent recours. Nous avons déjà parlé de celle qu'a tout produit de rester ie même , dans quelque ordre que l'on multiplie ses facteurs. D'autres propriétés non moins remarquables se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient

plusieurs suites de quantités positives ou négatives. On aura, pour toutes les valeurs possibles de ces mêmes quantités ,

k{a-\-b -^ c -+- . ...) =: /: a -\- k b -\- kc -i- . . . , a -h b -hc -{- a b c

k bk b ,

Les quatre formules qui précèdent donnent lieu à une foule de conséquences qu'il serait trop long d'énumérer ici en détail. On conclura , par exemple , de la troisième formule I ."* que les fractions

a ka

sont égales entre elles, a, b, k désignant des quantit<?s quelconques ; 2.° que la fraction — a pour inverse — ; 3.° que, pour diviser une quantité A* par une autre quantité a, il suffit de multiplier A" par la quantité inverse de a, c'est-à-dire, par — .

élévation aux puissances : extraction des racines.

Puissances et racines des nombres : exposans POSITIFS. Elever le nombre ^ à la puissance marquée par le nombre B , c'est cherclier un troisième nombre qui soit formé de A par la multiplication, comme B est formé de l'unité par l'addition. Le résultat de cette opération faite sur le nombre A est ce qu'on appelle sa puissance du degré B. Pour bien concevoir la définition précédente de l'élévation aux puissances , il faut distinguer trois cas, suivant que le nombre B est entier, fractionnaire ou irrationnel.

Lorsque B désigne un nombre entier , ce nombre est la somme de plusieurs unités. La puissance de ^, du degré B , doit donc alors être le produit d'autant de facteurs égaux à A , qu'il y a d'unités dans B.

Lorsque B représente une fraction — (m et n étant deux nombres entiers^ , il faut , pour obtenir cette fraction , I .° chercher un nombre qui répété n fois reproduise l'unité; 2." répéter m fois le nombre dont il s'agit. Il faudra donc alors, pour obtenir ia puissance àe A, du degré — , i .* chercher un nombre tel que la multipli-

cation de n facteurs égaux à ce nombre reproduise A, 2." former un produit de m facteurs égaux à ce même nombre. Quand on suppose en particulier m =. i , la puissance de A que l'on considère se réduit à celle du degré —, et se trouve déterminée par la seule condition, que le nombre A soit équivalent au produit de n facteurs égaux à cette même puissance.

Lorsque B est un nombre irrationnel , on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus rapprochées. On prouve facilement que dans la même hypothèse les puissances de A marquées par les nombres rationnels dont il s'agit s'approchent de plus en plus d'une certaine limite. Cette limite est la puissance de A , du degré B,

Dans l'élévation du nombre v4 à la puissance du degré B , le nombre A s'appelle racine , et le nombre B , qui marque le degré de la puissance , exposant. Pour représenter la puissance de A du degré B , on se sert de lu notation suivante

D'après les définitions qui précèdent, la première puissance d'un nombre n'est autre chose que ce nombre luimême. Sa seconde puissance est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre , sa troisième de trois semblables facteurs, et ainsi de suite. Des considérations géométriques ont conduit à désigner la seconde puissance sous le nom de carré , et la troisième sous le nom de cube. Quant à la puissance du degré zéro , elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degré B , tandis que le nombre B décroît indéfiniment. Il est aisé de faire voir que cette limite se réduit à 1 unité ; d'où ij résulte qu'on a en général

Nous supposons toutefois que la valeur du nombre A reste finie et diffère de zéro.

Extraire du nombre A la racine marquée par le nombre B, c'est chercher un troisième nombre qui , élevé à la puissance du degré B , reproduise A. L'opération, par laquelle on y parvient, s'appelle extraction, et le résultat de l'opération est la racine de A , du degré B. Le nombre B , qui marque le degré de la racine , se nomme indice. Pour la représenter, on se sert de la notation suivante

Les racines du second et du troisième degré sont ordinairement désignées sous le nom de racines carrées et cubi^ nues. Lorsqu'il s'agit d'une racine carrée , on se dispense presque toujours d'écrire au-dessus du signe ^ l'indice 2. de cette racine. Ainsi les deux notations

doivent être considérées comme équivalentes.

Nota. L'extraction des racines des nombres, étant l'inverse de leur élévation aux puissances, peut toujours être indiquée de deux manières. Ainsi, par jexemple, pour exprimer que le nombre C est égal à la racine de ^ , du degré B , on peut écrire à volonté

A=.C" ou C=z l/Â.

Remarquons encore qu'en vertu des définitions , si l'on

désigne par 71 un nombre entier quelconque , A " sera un nombre tel que la multiplication de n facteurs égaux à ce nombre reproduise A. En d'autres termes, on aura

NOTE r." 417

d'où l'on conclura

Ainsi , lorsque n est un nombre entier , la puissance de A, du degré ^ , et la racine n."" de A sont des expressions équivalentes. On prouve facilement qu'il en est de même dans le cas oîi l'on remplace le nombre entier n par un nombre quelconque.

Puissances des nombres : exposans négatifs. Elevé?' le nombre A à la puissance marquée par Xexposant négatif —5, c'est diviser l'unité par A^. La valeur de l'expression

A-' se trouve donc déterminée par l'équation

qu'on peut aussi mettre sous la foiine

Par suite , si l'on élève un même nombre à deux puissances marquées par deux quantités opposées , on obtiendra pour résultats deux quantités positives inverses l'une de l'autre.

Puissances et racines réelles des quantités.

Si , dans les définitions que nous avons données des puissances et racines des nombres correspondantes à des exposans , ou entiers , ou fractionnaires , on substitue le mot de quantités à celui de nombres , on obtiendra les définitions suivantes pour les puissances et racines réelles des quantités.

Elever la quantité a u ia puissaHce recl/e du degré TOM. 1. Dd "^

4l$ NOTE 1."

m [m étant un nombre entier] , c'est former le produit d'autant de facteurs égaux à a qu'il y a d'unités dans m.

Elever la quantité a à \a. puissance réelle du degré — \m ^l n étant deux nombres entiers], c'est (en supposant, pour éviter toute incertitude, la fraction — réduite à sa plus simple expression ) former un produit de m facteurs égaux et teîlement choisis que la ??,"" puissance de chacun d'eux soit équivalente à la quantité a.

Extraire de la quantité a la racine réelle du degré m

ou — , c'est chercher une nouvelle quantité qui , élevée à la puissance réelle du degré m ou — , reproduise a. [D'après cette définition, la n.'"' racine réelle d'une quantité est évidemment la même chose que sa puissance réelle du degré — . De plus, on prouvera facilement que la racine du degré — équivaut h la puissance du degré --],

Enfin , élever la quantité a à la puissance réelle du

degré- — m ou — , c'est diviser l'unité par cette mèir.e

quantité a élevée à la puissance réelle du degré m eu—.

Dans les opérations dont on vient de parler , le nombre ou la quantité qui marque le degré d'une puissance réelle de a s'appelle X exposant de cette puissance, tandis rue le nombre qui marque le degré d'une racine réelle se nomme l'indice de cette racine.

Toute puissance de a, qui correspond à un expcrant dont la valeur numérique est entière , c'est-à-dire , à un exposant de la forme -f- m ou — m [m représentant un nombre entier ] , admet une valeur unique et réelle que Ton désigne par la notation

a"* ou a~'".

NOTE ï." 4lÔ

Quant aux racines , et quant aux puissances dont h valeur numérique est fractionnaire , elles peuvent admettre ou deux valeurs réelles, ou une seule valeur réelle, ou n'en admettre aucune. Les valeurs réelles dont il est ici question sont nécessairement des quantités positives -ou des quantités ncgatives. Mais, outre ces quantités, on emploie encore en algèbre des symboles qui , n'ayant aucune signification par eux-mêmes , reçoivent néanmoins , à cause de leurs propi iétés , les noms de puissances et de racines. Ces symboles sont du nombre des expressions algébriques au^^quelles en a donné le nom d! imaginaires, par opposition à celui ^expressio?js réelles, qui ne s'aj)plique jamais qu'à des nombres ou à des quantités.

Cela posé , il résulte des princi}>es établis dans le chapitre Vil que la racine ji.""' d'une quantité quelconque

a , et ses puissances des degrés —, ~ [,^ étant un

nombre .entier, et — une fraction irréductible] admet-

tent chacune n valeurs distinctes réelles ou imaginaires. Conformément aux notations adoptées dans le même chapitre, on désignera l'une quelconque de ces valeurs, s'il •s'agit de la racine n."" , par la notation

«î, s'il s'agit de- la puissaaice qui a pour exposant — ou , par la notation

((«))" où ((a)) ", Ajoutons que l'expression (( a )) " est comprise comme

cas particulier dans l'expression plus générale ((a)) " ; et qu'en appelant A la valeur numérique de a on trouvera

Dd-

pour les vaîeurs réelles des deux expressions