si 71 désigne un nombre pair

a étant = -\- A dz A " , de A " .

Lorsque, dans le dernier cas, on suppose a négatif, toutes

les valeurs de chacune des expressions ((«)) ",((«)) " deviennent imaginaires.

Si i'on fait varier la fraction — de manière qu'elle s'approche indéfiniment d'un nombre irrationnel B , le dénominateur n croissant alors au-delà de toute limite assignabie, ii en sera de même du nombre des valeurs imaginaires qu'obtiendra chacune des expressions

Par suite on ne peut admettre dans le calcul les notations ou , si l'on fait b = z+z B , la notation

à moins de considérer une semblable notation comme propre à représenter une infinité d'expressions imaginaires. Pour éviter cet inconvénient, nous n'emploierons jamais l'expression algébrique

dans le cas où la valeur numérique de b sera irrationnelle. Seulement, dans cette hypothèse, lorsque a obtiendra une valeur positive -+-A , on pourra faire usage de la notation ' ■ \ \^ ,onc.Cf

a^ ou («j

que lou devra considérer comme équivalente à

[ vovez le chapitre VII, 5- 4]-

Les puissances de nombres et de quantités jouissent de plusieurs propiiétés remarquables qu'il est facile de démontrer. Nous citerons entre autres celles qui se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient a, a, a", ... b, b', b" , ... des quantités quelconques positives ou négatives, A, A', A", des

nombres quelconques , et m , m', m", ..... des nombres entiers. On aura

( At'Ai-'A^" — A^*'''*''' ,.

ji-n^tm' „±m ^:i,m±m' i,m- .... ^ ^^acun des '

nombres m, m' , m" . ... devant être affecté du même signe dan» les deux membres) ,

a-'".a/-'".o'-'" = {aa'a<^ )-",

Les formules (5) et (4) donnent lieu à une foule de conséquences, parmi lesquelles nous nous contenterons d'indiquer la suivante. On tire de la seconde des formules (3)

^'(vr=''=

ej^,{.'^ çn conclut

Donc , si l'on élève deux quantités positives inverses l'une de l'autre à une même puissance , les résultats seront encore deux quantités inverses.