FORMATION DES EXPONENTIELLES ET DES LOGARITHMES

Lorsque dans l'expression yl* on regarde le nombre A comme fixe, et !a quantité x comme variable, la puissance A' prend le nom ô^ exponentielle. Si , dans la même hypothèse, on a , pour une valeur particulière de x ,

cette valeur particulière sera ce qu'on appelle le lo<iarithme du nombre B dans le système dont la base est A, On indique ce logarithme en plaçant devant le nombre la lettre initiale /ou L, ainsi qu'il suit,

1{B) ou L{E),

Toutefois , comme une senîblable notation ne fait pas connaître la buse du système de logarithmes auquH elle se rapporte , il est indispensable d'énoncer dans le discours la valeur de cette base. Cela posé , si l'on se sert de la caractéristique L pour désigner les logarithmes pri§ dans le système dont la base est A ^ l'équatjon

entraînera la suivante

Quelquefois, lorsqu'on doit traiter er> même temps des

logarithmes pris dans diflërens systèmes, on distingue les lins des autres à l'aide d'un ou plusieurs accens places à la droite de la lettre L , et l'on désigne en conséquence par cette lettre dépourvue d'accens les logarithmes d'un premier système , par la même lettre suivie d'un seul accent les logarithmes d'un second système, &c....

En s'appuyant sur les définitions qui précèdent et sur les propriétés générales des puissances des nombres , on reconnaîtra facilement, i ." que l'unité a zéro pour logarithme dans tous les syst('^mes ; 2." que dans tout système de logarithmes dont la base sui passe l'unité , tout nombre supérieur à l'unité a un logarithme positif, et tout nombre inférieur à l'unité un logarithme négatif ; 3 ° que dans tout système de loerarithmes dont la base est au-dessous de l'unité, tout nombre inférieur à l'unité a un logarithme positif, et tout nombre supérieur à l'unité un logarithme négatif; ^.^ enfin que, dans deux systèmes dont les bases sont inverses l'une de l'autre , les logarithmes d'un même nombre sont égaux et de signes contraires. De plus , on démontrera sans peine les formules qui établissent les propriétés principales des logarithmes, et parmi lesquelles on doit remarquer celles que' je vais écrire.

Si l'on désigne par B , B' , B" , . . . . C des nombres quelconques , par les caractéristiques L , L' des logarithmes pris dans deux systèmes difTérens dont les bases soient A , A , et par k une quantité quelconque positive ou négative, on aura

L{U B' B". ..) — l.(B)-^L {B')-+-L [B") ..., L{B^) = kLiB),

z-jc) „ ^' (g)

421 NOTF î"'

On tire flo h prcnVùic f\c ces foimulrs

et par suite

d'où il résulte que deux quantités positives inverses l'une de l'autre ont des iogarithmes égaux et de signes ron- Iraires. Ajoutons que la quatrième formule peut facilement se dtkluire de la seconde. En effet, supposons que la quantité k représente le logarithme du nombre C dans le système dont la base est B. On aura

et par suite

L {€) — A- L {B) , L (C) := kL' (B) , . d'oii l'on conclura iinmèdiateraent

LiB) — L'iB) — '

On peut remarquer encore que, si l'on prend B=^A , on tirera de !a quatrième formule [ à cause de L{A)r=z^'\

L\C) = L'{A),L{C), ou , en faisant, pour abréger, L' (A) ■= /A, ,

Ainsi , pour passer du système de logarithmes dont la base est A, à celui dont la base est A' , il suffit de multiplier les lo<7arithmes pris dans le premier système par un certain coefficient ,a égal au logarithme de A pris dans le second système.

Les logarithmes dont nous venons de parler sont ceux

qu'on nonuiT^ loi^anlhincs réels , paice qu'ils se réduisent toujours à (les quantités positives ou négatives. Mais , outre ces quantités, il existe des expressions imaginaires qui ont également reçu , à cause de leurs propriétés, le nom de logarithmes. Nous renvoyons sur ce sujet au chapitre ÏX, dans lequel nous avons exposé la théorie des logarithmes imaginaires.