FORMATION DES LIGNES TRIGONOM ETRIQUES ET DES ARCS DE CERCLE

Nous avons remarqué dans les préliminaires quune longueur comptée sur une ligne droite ou courbe peut être représentée tantôt par un nombre , tantôt par une. quantité, suivant qu'on a simplement égard a la mesure de cette longueur, ou qu'on la considère comme devant être portée sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre , à partir d'un point fixe que l'on nomme origine , pour servir soit à l'augmentation , soit à la diminution d'une autre longueur constante aboutissant à ce point. Nous avons ajouté que dans un cercle , dont le plan est supposé vertical , on fixe ordinairement l'origine des arcs à l'extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite , et qu'à partir de cette origine les arcs se comptent positivement ou négativement suivant que , pour les décrire, on commence par s'élever au-dessus d'elle ou par s'abaisser au-dessous. Enfin, nous avons indiqué Tes origines de plusieurs lignes trigonométriques qui correspoiident à ces mêmes arcs dans le cas où le rayon du cercle se réduit à l'unité. Nous allons revenir un instant sur cet objet, et compléter les notions qui s'y rapportent.

D'abord on établira facilement , à l'égard des longueurs' comptées sur une même ligne droite ou courbe à partir d'une origine donnée, les propositions suivantes.

426 ^H)TE i."

6/ Théorème. Soient a, b , c des quantités

quelconques positives ou négatives. Pour obtenir sur une ligne droite ou courbe l'extrémité de la longueur

comptée à partir d'une origine donnée dans te sens déterminé par le signe de la quantité

a-f-Zi-f-c-l- ,

il siiffîra de porter sur cette ligne, i° la longueur a à partir de l'origine , dans le se?is détermiiié par le signe de a , 2.' la longueur h à partir de l' extrémité de a, dans le sens déterminé par le signe de b , j»/ la longueur c à partir de l'extrémité de b , dans le sens déterminé par le signe de c , et ainsi de suite.

7/ Théorème. Soieiit a et b deux quantités quelconques. Supposons de plus que l'on porte sur une ligne droite ou courbe et à partir d'une origine donnée , i." une longueur égale à la valeur numérique de a , dans le sens déterminé par le signe de a , 2." une longueur égale à la valeur numérique de b , dans le sens déterminé par le sig?ie de b. Pour passer de l'extrémité de la preiniére longueur à celle de la seconde , ou réciproquement , en suivant la ligne que l'on considère , il su^ffira de parcourir une troisième longueur égale à la valeur numérique de la différence

8.' Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , l' extrémité de la longueur représentée par

sera sur la ligne donnée un point situé à distances égales des extrémités des longueurs a et b [ les distanccs étant comptées sur la ligne elle-même ].

Appliquons mainlenant ces théorèmes aux arcs mesiu-ës sur la circonférence d'un cercle tlont le pian est vertical , et dont le ravon équivaut à l'unité , l'origine des arcs étant fixée à rextrémité du rayon tiré horizontalement de gauche ii droite. Si l'on désigne par tt, suivant l'usage, le rapport de la circonférence au diamètre, le diamètre étant cgal à 2 , la circonférence entière se trouvera exprimée par le nomfjre arr, la moitié de la circonférence par le nombre tt , et le quart par -^ . Si , de plus , on désigne par a un arc quelconque positif ou négatif, on conclura du 6/ théorème que , pour obtenir l'extrémité de l'arc

a --f- 2.m'7T ou a — zwtt

[ m étant un nombre entier] , il faut porter sur la circonférence , à partir de l'extrémité de l'arc a, soit dans le sens des arcs positifs , soit dans le sens des arcs négatifs, une longueur égale à 27«7r, c'est-à-dire, parcourir m fois la circonférence entière dans un sens ou dans l'autre ; ce qui ramènera nécessairement au jioint d'où l'on était parti. II en résuite que les extrémités des arcs

a et a zti ^.jriTr coïncident.

On conclura également du 6.' ou du 7.' théorème , 1 .* que les extrémités des arcs

a et a rt tt

comprennent entre elles un arc égal à :t , et se confondent par conséquent avec les extrémités d'un même diamètre ; 2.' que les extrémités des arcs

« et a zt

comprennent entre elles un quart de circonférence , en

4*28 NOTE i."'

sorle qu'elles coïncidep.r avec les extrémités de deux rayons perpendiculaires i'un à l'autre.

Enfin on conclura du 8.*^ théorème, i .° que les extrémités des arcs

ft et TT — a sont situées à égales distances de l'extrémité de l'are

et par conséquent placées symétriquement de part et^ d'autre du diamètre vertical; 2." que les extrémités, des arcs

a et a

sont situées à égales distances de l'extrémité de farc — ^

Les arcs tt — a et -^ a , dont il est ici question,, sont

respectivement appelés le fntpplcment et le coniplc'moii de l'arc a. En d'autres ternies , deux arcs représentés par deux quantités a et b sont siipplcmens ovx. complémens l'un de l'autre suivant que l'on a

a ^- h = TT ou a -+- h z=: — .

Puisque les angles au centre qui ont pour côté commun 1(^ rayon mené par l'origine des arcs croissent ou diminuent proportionnellement aux arcs qui leur servent de mesure, et que ces angles eux-mêmes peuvent être considérés comme les accroissemens ou diminutions de l'un d'eux pris à volonté , rien ne s'oppose à ce qu'ils soient désignés par les mêmes quantités que les arcs. G est une convention que l'on a efTectivement adoptée. On dit aussi que deux angles sont complémens ou supplémens

i'un de l'autre , lorsque les arcs correspontlans sont euxmêmes complémens ou supplëmens l'un de l'autre. .

Passons maintenant à l'examen des lignes trigonometriques ; et dans ce dessein , considëions un seul arc représenté pai' la quantité a. Si on le projette successivement, 1." sur le diamètre vertical, 2." sur le diamètre horizontal, les deux projections seront ce qu'on appelle le siims et le sinus verse de l'arc a. On peut observer que la première est en même temps la projection , sur le diamètre vertical, du ravon qui passe par l'extrémité de l'arc. Si on prolonge ce même rayon jusqu'à la rencontre de la tangente au cercle mené par l'origine des arcs , la partie de cette tangente interceptée entre l'origine et le point de rencontre sera ce qu'on appelle la tangente trigonométrique de l'arc a. Enfin la longueur comptée sur le rayon prolongé entre le centre et le point de rencontre sera la sécante de ce même arc.

Les cosinus et cosi7ius verse dun arc, sa colangente et sa cosècanle ne sont autre chose que les sinus et sinus verse , la tangente et la sécante de son com.plément , et constituent, avec le sinus, le sinus verse, la tangente, et la sécante de ce même arc , le système complet de ses lignes trigonométriques .

D'après ce qui a été dit ci-dessus , le sinus d'un arc se compte sur le diamètre vertical , le sinus verse sur le diamètre horizontal, la tangente sur la ligne qui touche le cercle à l'origine des arcs , et la sécante sur le diamètre mobile qui passe par l'extrémité de l'arc donné. De plus , les sinus et sécantes ont pour origine commune le centre du cercle , tandis que l'origine des tangentes et des sinus verses se confond avec celle des arcs. Enfin , on est généralement convenu de représenter par des quantités posi-

430 KOTE I."'

tives les lignes trigonométriques àe l'arc a, clans îe cas où cet arc est positif et moindre qu'un quart de circonférence; d'où i! suit que l'on doit compter positivement le sinus et la tangente de bas en haut, le sinus verse de droite à gauche , et la sécante dans le sens du rayon mené à l'extrémité de l'arc a.

En partant des principes que nous venons d'adopter, on reconnaîtra immédiatement que le sinus verse, et par suite le cosinus verse sont toujours positifs; et, de plus, on déterminera sans peine les signes qui doivent affecter les autres lignes trigonométriques d'un arc dont l'extrémité est donnée. Pour rendre cette détermination plus facile, on conçoit le cercle divisé en quatre parties égales par deux diamètres perpendiculaires entre eux , l'un hoiizontal, l'autre vertical; et ces quatre parties sont respectivement désignées sous les noms de premier , second , troisième et quatrième quart de ceicle. Les deux premiers quarts de cercle sont situés au-dessus du diamètre horizontal, savoir, le premier à droite, et le second à gauche. Les deux derniers sotît situes au-dessous du même diamètre, savoir, li- îi-oisième h gauche, et le quatrième à droite. Cela posé, comme les extrémités de deux arcs > complémens l'un de l'autre, sont également distantes de l'extrémité de l'arc — , on en conclura qu'elles sont pia- «ées symétriquement de part et d'autre du diamètre qui divise en deux parties égales le premier et le troisième <|uart de cercle. Si l'on cherche ensuite quels signes doivent être attribués aux diverses lignes trigonométriques d'un arc autres que le sinus verse et le cosinus verse , suivant que l'extrémité de cet arc tombe dans un quart de cercle ou dans un autre, on trouvera que ces signes sont respectivement

NOTE i."' in

.lans le i." quart de cercle , daiu le 1 ' , d.ins le 3.' , dnrii le ^.'

pour le sinus 1

et la cosecante . . )

pour le cosinus )

et la sécante,.. . )

pour ia tangente )

et ta cotangente. )

On peut remarquer à ce sujet que le .signe cîe la tangente est toujours le produit cîu signe du .sinus par le signe du cosinus.

Les considérations prét-e^dentes conduiscî.t encore à reconnaître que le cosinus d'un arc se confond avec la projection du rayon qui passe par rextrérnité de cet arc sur le diamètre horizontal, et que sur ce même diamètre ii doit être compte positivement de gauche à droite , à partir du centre pris pour origine ; que le cosinus verse peut être mesuré sur le diamètre vertical entre le point le plus élevé de la circonférence pris pour origine et l'extrémité du sinus; que la cotangente, comptée positivem.ent de gauche à droite sur la tangente horizontale menée au cercle par l'origine des cosinus verses, se réduit a la longueur comprise entre cette origine et le prolongement du diamètre mobile dont une moitié est le rayor* mené à l'extrémité de l'arc ; enfin cpie la cosecante , mesurée sur ce diam.ètre mobile , se compte positivement dans le sens du rayon dont iî s'agit, et à partir du centre prispour origine jusqu'à l'extrémité de la cotangente.

Nous avons sufTisanmient développé dans les prélimi-naires le système des notations à laide desquelles nous représentons les diverses lignes trigonométriques et les arcs qui leur correspondent. Nous ne reviendrons pas sur cet objet , et nous nous contenterons d'observer que tes lignes trigonométriques d'un arc sont censées appar-

tenir en même temps à i'angle au centre qu'il mesure , et que l'on desii,nie par la même quantité. Ainsi , par exemple , a , b , .... représentant des quantités quelconques , on peut dire également que les notations

sin. a , COS. b , &c

expriment le sinus de l'arc ou de l'angle a, le cosinus de l'arc ou de l'angle b, &c

Nous terminerons celte note en rappelant quelques propriétés remarquables des lignes trigonométriques.

D'abord, si l'on désigne par a une quantité quelconque, on trouvera que le sinus et le cosinus de l'angle a sont toujours liés entre eux par l'équation

fo) sin." a -+- ros.' a = t ;

et que les autres lignes trigonométriques peuvent être exprimées au moyen de ces deux premicrcs , ainsi qu'il suit :

>in. «

siv. c = I — COS. a , tanc. « =

ros. a

co.-i.a cosiv. a = I — sin. « , cet. a z=- — : , coiéc.n:

Des formules (6) et (7) on déduira facilement plusieurs autres équations , par exemple ,

fH) cot.a= , sëc."a = i-l-tang."«, cose'r.^w = i-}-C()t.^a ,

^ ^ tang. a

Il est encore aisé de voir que , si la quantité positive R représente la longueur d'une droite entre deux points, et cl l'angle aigu ou obtus que forme cette droite avec un axe fixe , la projection de la longueur donnée sur l'axe fixe sera mesurée par la valeur numérique du produit R COS. a. ,

f'I la projection de la même longueur sui une perpendiculaire à l'axe par la va{( ur numérique du produit rt sin. a, Enfin on reconnaitia sans peine que si , en partant d'un point pris au hasard sur la circonférence du cercle qui a pour rayon l'unité, on parcourt sur cette circonférence, dans un sens ou dans un autre, une longueur égale à la valeur numérique d'une quantité quelconque c, le plus petit arc compris entre les extrémités de cette longueur sera inférieur ou supérieur à -^ , suivant que cos. c sera positif ou négatif.

Ces principes étant admis , concevons que sur la circonférence dont on vient de parler on détermine , i ." les extrémités (A) et (B) des arcs représentés par deux quantités quelconques a et b, 2." l'extrémité (iV) d'un troisième arc représenté par -^ . Soit en outre (M) le milieu de la corde qui joint les points (A), (B) ; et supposons que le point (M) se projette sur le diamètie horizontal du cercle en un certain point (P). Si les longueurs mesurées sur ce diamètre, à partir du centre pris pour origine, sont comptées positivement de gauche à droite, ainsi que les cosinus, la distance du c'entre au point {P) devra être représentée [en vertu du H." théorème] par la quantité

co.s. a H- COS. b

De plus, comme [en vertu du même théorème] le point (N) est situé à égales distances des points (A) et (B) , le diamètre qui passe par le point (.V) renfermera le milieu {M) de la corde AB ; et la distance de ce milieu (M) au centre du cercle sera égale [abstraction feite du signe] au cosinus de chacun des arcs NA, '\B, ou ce aut TOM. 1. ^/

4M Norr. i/*

rfvirut au même , à

Pour obtenir la projection horizontale de cette distance , il suffira de la multiplier par le cosinus de l'angle aigu compris entre le rayon tiré horizontalement de gauche à droite , et le diamètre qui renferme le point {N) , c'est-àdire, par un facteur égal (au signe près) à cos. {■——)■ En- d'autres termes, la distance du centre au point (P) aura pour mesure la valeur numérique du produit

,..(j::z±)..os.(-itl).

J'ajoute que ce produit sera positif ou négatif, suivant que le point {M) sera situé à droite ou à gauche du diamètre vertical. En efiét, cos. (— y~) ^^^ positif ou négatif, suivant que le point {N) est situé par rapport à ce diamètre du côté droit ou du côté gauche ; et cos. f-^-^ — \ est positif ou négatif, par suite le produit

c„..(^__-j.cos. (^— ^j

est de même signe que cos. - — 1- , ou de signe contraire,

suivant que, chacun des arcs NA , NB étant inférieur ou supérieur à -^ , le point {M) se trouve situé du même côté que ie point (?/) ou du côté opposé. Comme d'ailleurs la verticale qui passe par le point (M) renferme aussi le point (P) , il suit de la remarque précédente que la distance du centre au point (P) , dans le cas même où l'on a égard aux signes, peut être représentée par le produit

___j.cos.(^--— J.

Ce produit et la quantité -"-'" ^"^ ' ■ ont donc le même signe , avec la même valeur numérique ; et l'on a par con-

séquent, pour toutes les valeurs possibles des quantités a et b,

(9) COS. U -\- COS. 6=2 COS. ( ~ j . COS. { ^^^ — ] .

Si dans l'équation (9) on remplace b par t -j- è , on en tirera

( I O) COS. a - COS. b = ^ sin. ( ^~" ) . .in. ( ±±L\ .

De plus, si dans les équations (9) et (10) on substitue

aux angles a et b leurs complémens a , - b

on obtiendra les suivantes

;in. a+sin. 6 = .cos. L" ~ ^ Y,,,.. {jl.±±\ ^ in. a - sin. b = 2 sin. ^ " " ^^ Vcps. (-iL±i Y

Les formules (9), ('o) et (i i) une fois établies, on en déduira facilement un grand nombre d'autres. On trouvera , par exemple ,

( sin. a — sin. b tang. { (a — b)

' sin. o -H sin. 6 tang. ~ [a h- b)

tang. 1 (« A). tang. : {a-^^b).

COS. b — COS. a COS. b -(- COS. a

a -~ l^) -\- COS. (a -f- b) = icos. a cos. 6 , « — ^) — COS. {a -{- b) z= 2 sin. « sin. b ; a -h 6) H- sin. (a — 6) = 2 sm. a cos. i , a ->r- b) — sin. (a — b) =z 2. sin. i cos. a ;

« dr i ) = COS. a cos. A :p sin. a sin. A , a :±l b) =z sin. a cos. b ± sin. i ces. a ;

COS

cos

sin.

COS

sin.

( I 6) taog. (a =t i) = tang. ^ ± tang. b

I rp tang. a tang. A '

f cos.za==cos.'a-sin.'a=zcos.^a ,=, - 23ia.^« ,