A A' A" ... —BB'B

3/ Théorème. Soient a, b , r trois quantités quelconques, et supposons

on en conclura, si r est positif,

r a > rh ,

ei , si r est négatif,

DÉMONS TU ATIOX. En effet, le produit

/' [^a — h) = 7 a — rb sera positif dans le premier cas, et négatif dans ie second.

Corollaire. Si, en supposant n et b positifs, on prend successivement

on en conclura

On se trouve ainsi ramené à cette proposition , évidente par e!Ie - même , qu'une fraction est inférieure ou supérieure à l'unité , suivant que le plus grand de ses deux termes est le dénominateur ou ie numérateur.

4.* Théorème. Soient a et a' deux nombres qui satisfassent à la condition

et b tme quantité quelconque. On aura, si b est positif

■ A' > A", et, si b est 7iégatif ,

DÉMONSTRATION. En effet, le quotient— étant >i^ la fraction

sera évidemment supérieure ou inférieure à l'unité, sui* vant que la quantité h sera positive on négative.

5.* -ThÉORÈMK. Désignons par A un nombre queleonque f et soient b, b' deux quantités assujetties à la condition

on en conclura, si A est plus grand que l'unité ,

A'' > A" , et, si A est inférieur à l'unité ^

DÉMONSTRATION. En effet, la quantité h — b' éUnt positive , par hypothèse , la fraction

sera évidemment supérieure ou inférieure à l'unité, suivant que l'on aura A > \ on A < \ .

6/ Théorème. Soit L la caractéristique des logarithmes pris dans le système dont la base est A , et désignons par B, b' deux nombres assujettis à la condition

On aura, si A est plus grand que l'unité ^

L{B)>L{B'), et , si A est inféî'ieur à l'unité,

DÉMONSTRATION. En effet, le logarithme

sera positif dans le premier cas , et négatif dans le second. Corollaire. Si l'on se sert de la lettre / pour indiquer les logarithmes népériens pris dans le système dont la base est

[ chap. VI, ^\ I.", équation (5)] ,Ja condition

B > B' entraînera toujours la formule

Aux théorèmes qui précèdent nous ajouterons le suivant, duquel on peut déduire plusieurs conséquences importantes.

7/ Théorème. Soit .r une quantité quelconque. On aura

la lettre e désignant , à l'ordinaire , la hase des logarithmes népériens.

DÉMONSTRATION. Le second membre de la formule ( 2 ) restant toujours positif , le théorème énoncé sera évident par lui-même, si la quantité « -+- a; est négative. II suffira donc d'examiner ie cas oii ion suppose

Or, l'équation (23) du chapitre VI [ §. 4] donne, pour toutes les valeurs réelles possibles de x ,