X XX' X^ X

e = IH 1 1 1 7 -i — -+- ûtc.

et, comme les produits

sent positifs , non - seulement lorsque la quantité x est

positive, mais aussi iorsque, étant négative, elle a une valeur numérique inférieure à l'unité, on tirera de l'équation (4), toutes les fois que la condition (3) sera remplie,

Corollaire i." Si, dans le cas où i -f-x est positif, on prend les logarithmes népériens des deux membres de la formule (2) , on obtiendra la suivante

(5) Ky-^^) < ^y

[voyez le corollaire du 4/ théorème]. Cette dernière subsiste donc toutes les fois que son premier membre est réel. Corollaire z.' Soient x, y, z, ... plusieurs quantités assujetties aux conditions

(6) j-f-.r>o, iH-y>o, i-+-z>o, &c..,.

On aura, en vertu de la formule (2) ,

i-J-j;<e', \-\~ij<e-, iH--<e', &c... ; et l'on en conclura [2.' théorème]

Cette dernière formule subsiste donc, toutes les fois que son premier membre ne renferme que des facteurs positifs.

Corollaire 3.' Si dans le corollaire précédent on suppose

X ■=. a a. , \j z^z a et\ z =. a" a" ,

(tf.et',A" ... désignant des quantités positives , et a, a, a" ... d'autres quantités respectivement supérieures à

la (ormule (7) deviendra

( l -+- « et ) ( I -H- « a } ( l -+- « a ) . . . < e

Si de plus les quantités a, a, a", ... sont toutes inférieures à une certaine limite A , on aura [ en vertu des i." et 3.* théorèmes]

a Cl -i~ a a -H a" a" ... < A (db -h- et' -i- a" . . .) ,

et par suite on trouvera définitivement

(8) (i-f-rt^)(n-flV)(i-f-«V')...<e^^*+'''-^*"-).

La formule (8) peut être employée avec avantage dans l'intégration par approximation des équations différentielles.

Passons maintenant aux théorèmes sur les moyennes. Ainsi qu'on l'a defa. dit [ préhminaires , pag. 1 4 ] j or» appelle moyenne entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l'on considère. D'après cette définition , la quantité h sera moyenne entre les deux quantités g, k , ou entre plusieurs quantités parmi lesquelles J'une des deux qu'on vient de citer serait la plus grande et l'autre la plus petite,. si les deux différences

sont de même signe. Cela posé, si, pour désigner une moyenne entre les quantités a , a , a" ... on emploie ^ comme dans les préliminaires , la notation

on établira sans peine les propositions suivantes.

8.' Théorème. Soient a, d , a h plusieursquantités assujetties à la condition

et r une autre quantité entièrement arbitraire. On aura toujours

NOTE ir. 445

(lo) rh = M {ra , ra', ra" . . .}.

DÉMONSTRATION . En effet, désignons par^ la plus grande , et par k la plus petite (\es quantités a, a , a" . . . Les deux différences

seront positives ; et par suite les produite

ou , en d'autres termes , les deux différences

rg — rh, rh — rk ,

seront de même signe. On aura donc

et , à plus forte raison ,

rh=.M[ra, ra', ra"...),

attendu que rg, rk sont nécessairement deux des pm* duits

r a , ra , ra" , &c. . . .

9/ Théorème. Soient a, a', a" . . . h plusieurs nombres qui satisfassent à la coîidition

et b une quantité quelconque. On aura

DÉMONSTRATION. En effet, soient G et H ie plus

grand et le plus petit d^s nombres A , A', A''

Les différences

446 koTF n.

étant aiors positives, on conclura du 4-' théorème que les suivantes

sont de même signe. On aura donc H'=zM{G'', K'), et à plus forte raison

Corollaire. Si l'on fait en particulier & = ^ » °" trouvera

Vh =iM [V^' VÂ^/ V^'' . . . )•

10." Théorème. Désigno?is pa?- a im nombre quelconque , et soient b , b' , b" ... h plusieurs quantités assujetties à la condition

On aura

(,4) A'=iM{A\ 4", A'" ...).

DÉMONSTRATION. Désignons par g- la plus grande , et par A* la plus petite des quantités b, b' , b" .... Les deux différences

étant alors positives, on conclura du y" théorème que les suivantes

sont de même signe. On aura donc

A'=zM{A', A'):^M{A\ A'', A'". . .).

11/ Théorème. Soit L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A , et désignons par B , b' , b" // plusieurs nombres assujettis à la condition

On aura , quel que soit A ,

DÉMONSTRATION. En effet, supposons que l'on représente par G le plus grand , et par K le plus petit des nombres B, B', B" . . . Alors, les deux fractions G H

étant supérieures à l'unité , les logarithmes

ou , en d'autres termes , les différences

L{G) — L{H), L{H) — L{K) seront de même signe. On aura donc -^

12/ Théorème. Soient b, V , y ... plusieurs quantités de même signe, en nombre n, et a, a, a ... des quantités quelconques en nombre égal à celui des premières. On aura

DÉMONSTRATION. Soit g la plus grande et A la

44B NotE H.

phis pptrte des quantités

Les diftëieiices

seront toutes positives. En multipliant les cïeux premièie» par b, les deux suivantes par b' , &c. . . , on obtiendra les produits

et a — /\b, et a' — A' b' , et (i' — kb" )

qui seront tous de même signe, aussi bien que les quantités b , b' , b" ... Par suite, les sommes de ces deux espèces de produits , savoir >

^(A-hè'-t-é"...) — {a->t-à-Va ...) , a-\-d-\-a... — ^( è-f-i'-j-A' ...^ ,

et les quotiens de c^s sommes par b -+- b' -^ b" . . . . , savoir ,

a-ha -i-a . . . a-î-o -f-a . . . .

seront encoie des quantitéi de même signe ; d'où l'on conclura

.AU TE II, .j,jf)

[voyez dans ies préliminaires le i ." théorème et la formule (6) ].

^ Corollaire ir En supposant les quantités h, h\ h", ... réduites à l'unité, on trouve

Le premier membre de la fonnule précédente est ce qu'on appelle la moyenne arithmétique entre les quantités «, a', a"

Corollaire 2.' La moyenne entre plusieurs quantités égales se confondant avec chacune d'elles , si les fractions y , -^ , ~ , deviennent égales, on aura

(îo) .«-Ha +«.... ^__ a __ a

^ yi b-i-ù'-^b'.... ~-ô~Y—'V = ^c...;

ce qu'il est d'ailleurs facile de prouver directement.

Corollaire ^: Si l'on désigne par «,«',*"

de nouvelles quantités qui soient toutes de même signe,' on aura, en vertu de l'équation (17),

r ^g-f-^'aH-a-q"... /.ta aV a a \

(:io]) '^*-^*'^'-^'=^"^"--- —''H"^' TT' ^T-"-;

Cette dernière formule suffit pour établir le 3.' théorème des préliminaires.

XZ." ThÉORKME. Soierit A, a', a" ... B, P.', B"... deux suites de nombres pris à volonté : et formons avec ces deux suites, que nous supposons renfermer TOM. 1. p.j'

chacune un Jiomhre n de termes , les racineg B B' B"

On aura

B+B'+B'.. .^,..,'-^- tg B' B" \

(2 0 \^^^^---^A A A"... =M yi, Va', /^''...j.

DÉMONSTRATION. Les logarithmes des quantités

indiqués par la caractéristique / sont respectivement

liA)'^l{A)-+I{A")... • 1{A) I{A') /(4^

et l'équation (17) fournit entre ces logarithmes la relation suivante

Si maintenant on repasse des logarithmes aux nombres , ce qui est permis en vertu du théorèrne i o , on retrouvera la formule (21).

Corollaire i.'" En supposant les nombres B, B', B" ... réduits à l'unité , on a simplement

(22) ;/aA'A"... =M [A, A', A" ...).

Le premier membre de la formule précédente est ce qu'on appelle la moyenne géométrique entre les nombres A, A\ A" ....'

Corollaire 2.' Si toutes les racines

NOTK II. 451

tïevioiinent égaies, leur moyenne se confondra avec clia^ cune d'elles. On aura donc alors

ce qiul serait facile de prouver directement.

La valeur numérique dune moyenne entre plusieurs quantités données n'est pas toujours une moyenne entre leurs valeurs numériques. Ainsi, par exemple, quoique — I soit une quantité moyenne entre — 2 et -+- 5 j cependant l'unité n'est pas une valeur moyenne entre z et 3. Parmi les diverses manières d'obtenir une moyenne entre les valeurs numériques de n quantités

l'une des plus simples consiste à former d'abord ïa moyenne arithmétique entre les carrés

et à extraire ensuite la racine carrée du résultat. En opérant ainsi , on trouvera premièrement

puis, en ayant égard au corollaire du 9."" théorème,

/ t\ v (i''-\-a '-\-it '^ . . . / — /- — /

Or^ les quaiilitos positi\cs

rf"

représentant précisément les valeurs numériques des quantités données

il suit de la formule {24) qu'on obtiendra une moyenne entre ces valeurs, si l'on divise par y/n l'expression trèssimple

Cette expression , qui surpasse la plus grande des valeurs numériques dont il s'agit, est ce qu'on pourrait appeler le module du système des quantités «, a, a" ... Le module du système de deux quantités a et h ne serait alors autre chose que le module même de l'expression imaginaire « -f- Z> ^/^ [voyez le chapitre VJÏ, Ç. 2]. Quoi qu'il en soit , les expressions réelles de la forme

jouissent de propriétés très-remarquables. Dans la géométrie, elles servent à déterminer les longueurs mesurées en ligne droite, et les aires de surfaces planes, par le moyen de leurs projections orthogonales. En algèbre, elles fournissent le sujer de plusieurs théoièmes importans, parmi lesquels je me contenterai d'énoncer ceux qui suivent.