IF' T^' "F

seront égales , et l'on aura en conséquence

«^ a'- a'- fl-^-t-a ■»f.a"- . . .

En extrayant les racines carrées on retrouvera la formule

15/ Théorème. Soient a, a , a ... des quantités quelconques , en nombre n. Si ces quantités ne sont pas toutes égales entre elles , la valeur numérique da la somme

sera inférieure au produit

|///.-/(«^ -4- «'" -Ha"' ...)\

en sorte qu'on aura

H [z6) val.nnm.[a-ï-a'-i-a"...)<y^7i.-^(a'-^^a''^i-a"'...).

DÉMONSTRATION. En effet, si au carré de la somme

on ajoute les carrés des dilTérences entre les quantités a, a, a" . . . combinées deux à deux de toutes lesma-

nières possibles , savoir ,

(a — a'y, (a — «")% ... (a — a"y, &c. . , , on trouvera

et Ton en conclura

(a-i-a'-^a". . .]' < v (fl*H-a''-t-e"^ . . .).

En extrayant les racini^s carrées positives des deux membres de cette dernière formule, on obtiendra précisément la formule (26].

Corollaire. Si l'on divise par n les deux membres de la formule (26) , on trouvera

, n, , a~\-a'-y-a" . . . y/fa^-i-a'^-ba"* . . .)

(28) vat.num. < -^-^ -^.

Ainsi la valeur numérique de ia moyenne arithmétique entre plusieurs quantités a , a , a" . , . . est inférieure au rapport

qui représente, comme on l'a remarqué plus haut, une moyenne entre les valeurs numériques de ces mêmes quantités.

Se HO LIE i.'^ Lorsque les quantités a, a, a" . ... , déviennent égales, on a évidemment

val. 7ium. (a-\-(f.'-\- u" . . .) = ■j,/w.y'(a*-}-a'*-+-«"* . . .) = w a. ^^Ê

S<:holiE 2.' Si dans l'équation (27) on pose succcs-ijvçment n = 2 , n = 3 , &c. . . . , on en conclura

f {a-h ay -h {a — a'y = 2 (a^ -\-a'^) ,

(-9) j (fl+a'4-a")M»-«')'H-(«-«")'-+-(«'-«")* = 3 («'+«"+«"'). ( &c

16.' Théorème. Soient a, a, a ..., a, a, a!' ... deux suites de cpiantilés , et supposons que chacune de ces suites renfei'me un ?iomhre n de termes. Si les rapports

— > ^7 , -^ , ôfC. . . .

ne sont pas tous égaux entre eux , la somme

sera inférieure au produit

^{a--+-a"-i-a"\..).y^{cL'-h-o,"-^x"\.,]; en sorte qu'on aura

f val.num. {aa. -\~ a* a.' -{- a" a." ,..)

( </(«'-!-«'■'-+-«"' ...)•/ (*' -H*'' -h A"^ ... )• DÉMONSTRATION. En effet, si au carré de la somme

on ajoute les numérateurs des fractions qui représentent les carrés des différences entre les rapports

combinés entre eux de toutes les manières possibles , savoir ,

[aaJ—acLY, («oc"-a"cL)% ... (a'ct"~a'W)\ écc. . . , ou trouvera

( iace.-\'a'ci'-\-a"a" . . .y-i- {(ia.'—a'a)--{- {act"—a"ûiY-h. . , ( 5 1 ) i

^ ,„^(a'cL"-a"a.'y-\-iie... = («^^-a'^+«"^..)(a^+a'^-^a"^..) ;

et l'on en conclura

{aa.-^a'ci.'-^a"a".. .)' < («'-+-« *-!-«" \ . .) (a'-+-a"-4-ci"\ . .)•

En extrayant {es racines carrées des deux membres de cette dernière formule , on obtiendra précisément ia formule (30].

Corollaire. Si l'on divise par ?z les deux membres; de la formule (30) , on trouvera

i ^r aa -1- «' a' H- «"a" . . . . \ vai. tiuni. .-— i-Lii.

Ainsi la moyenne arithméticjue entre les produits

acL , a aJ , a" oL" , ....

a une valeur numérique inférieure au produit de deux . rapports qui représentent des moyennes entre les vaicuis numériques des deux espèces de- quantités comprises ifaus les deux suites

et, cl', et" .... .

SCHOLIE I f Lorsque les rapports

deviennent égaux , on tire de la formule (31)

l.{iia-^a ce,' -^ a" a." . , .y =:^. {a'--^-u':~\- a'"- . . .) {tc^ -\- a' ^ ~'r a." * . . .) « et (iur suite

val. num. [a a. -\- a' et' -^ a" et" . . .)

= y/{a^ -+- a"- -\- a'"- . . .) . ^{et^- -+- et' ' -^- a"".. .)•

II serait facile d'arriver directement au même résultat.

SCHOLIE 2.' Si dans la formule 51) on pose successivement n ^ 2 , n ■=. 3 , &c. . . . , on en conclura

(act-f-a'ct')* -i- (aa' — a'a)^ = (a^ -Ha'-") (a* -f-a'^) , (aa+a'a'H-a"ût")'^+(aa'— a'a)^-t-(aat"— a"a)^+(a'ût"— a"tt')'

= (a^-t-a'^-i-a"^) (a^-t-a'-^-ût"-),

La première des équations précédentes s'accorde avec l'équation (8) du chap. VII \^. i."^]. La seconde peut s'écrire ainsi (ju'il suit :

( tu. et' — a' cty -+- (a et" — a" a.)' -t- {a' a." — a" et' y

/ = {(i'->ra"-->ra"'-) (ût^-t-a'-^-Fût"') — {aet-^a' et' -\-a" ct"Y \

et sous cette forme elle peut être employée avec avantage dans la théorie des rayons de courbure des courbes tî acées sur des surfaces quelconques , ainsi que dans plusieurs questions de mécanique.

Nous terminerons cette note par la démonstration d'un théorème digne de remarque auquel on se trouve conduit en comparant la moyenne géométrique entre plusieurs nombres avec leur moyenne arithmétique. Voici en quoi il consiste.

\1 .". Théorème, ha moyenne géométrique entre plusieurs nombres A, B, C, D, ... est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.

DÉMONSTRATION. Soit n le nombre des lettres A , B , C, D} ... II suffira de prouver qu'on a généralement

(35) "Jabcd . . : < 4^B^r-^n...

OU , ce qui revient au même ,

{^,6) ABCD... < (^±tl±£±^:^y , Or, en premier iieu, on aura évidemment, pour ?i==2 ,

et l'on en conclura, en prenant successivement n = 4 , n=:B , &c. . . . enfin n = 2'" ,

ABCD< [^y [^y < (d±E±£±R.y^

ABCDEFGH < (±t^±^±R.y (^E-^F^G^ny <( 8 ) '

(37) ABCD ... < (^ -pn ) .

En second lieu, si « n'est pas un terme de la progression géométrique

on désignera par z"" un terme de cette progression supérieur à w^ et l'on fera

,. A-i-B-+-C-hD-\-

puis, en revenant à la formule (37), et supposant dans le premier membre de cette formule les z'" — n derniers facteurs égaux à K, on trouvera

ou, en d'autres termes,