ABCD ..,K^"'~'' < A

On aura donc par suite

ABCD ... < Z^" = ^A-^B-^C-^D... y ,

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. On conclut généralement de la formule (36)

(38) A-hB -+-C-i-D ,.. > n'i/'ÂB'cùZ ,

quel que soit le nombre des lettres A , B, C, D, .. , , Ainsi, par exemple,

(39) \ A-\-B-^c > ^ yin,

Sur la Résolution nutnerique des Equatious.

RÉSOUDRE numériquement une ou plusieurs ëqtiations , c'est trouver les valeurs en nombres des inconnues qu'elles renferment ; ce qui exige évidemment que lès constantes comprises dans les équations dont il s'agit soient elles-mêmes réduites en nombres. Nous nous occuperons seulement ici des équations qui renferment uiie inconnue, et nous commencerons par établir à leur égard les théorèmes suivans.

1.'' Théorème. Soit f {x) une fonction réelle de la variable x, qui demeure continue par rapport à cette variable entre les limites j:=Xa, xz=x. Si les deux quantités .f{x a) , J'{X) sont de signes contraires, on pourra satisfaire à l'équation

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x^ et X.

DÉMONSTRATION. Soit x^\i\ plus petite des deux quantités x^, X. Faisons

et désignons par m un nombre entier quelconque supérieur à l'unité. Comme des deux quantités y (j;J, f [X) , l'une est positive, l'autre négative, si l'on forme la suite

et que clans cette suite on compare successivement le premier terme avec le second , le second avec le troisième, fe troisième avec ie quatrième, &c... , on finira nécessairement par trouver une ou plusieurs fois deux termes consécutifs qui seront dv signes contraires. Soient

deux termes de cette espèce, r, étant la plus petite des deux valeurs correspondantes de x. On aura évidemment

.r„ < x, < X < X, et

A3ant déterminé x^ et X' comme on vient de le dire, on pourra de même, entre ces deux nouvelles valeurs Aq X , en placer deux autres x^ , X" qui , substituées dans /(.!') , donnent des résultats de signes contraires, et qui soient propres à vérifier les conditions

X" — x.=:- {X'~x\^—AX—x ).

En continuant ainsi , on obtiendra , i .' une série de valeurs croissantes de x, savoir,