une série de valeurs décroissantes

qui, surpassant les premières de quantiu'^ respectivement égales aux produits

46^ NOTE tn.

ix{X—x^], -^x{X—.x^}, ~x{X-x,), kc,

finiront pai" différer de ces premières valeurs aussi peu que l'on voudra. On doit en conclure que les termes généraux des séries ( 2 ) et ( 3 ) conveigeront vers une limite commune. Soit a cette liftite. Puisque la fonction f{x) reste continue depuis x-=:x^ jusqu'à x-=X , les termes généraux des séries suivantes ,

convergeront également vers la limite commune f{a) ; et, comme en s'approchant de cette limite ils resteront toujours de signes contraires , il est clair que la quantité f{fi), nécessairement finie, ne pourra différer de zéro. Par conséquent on vérifiera l'équation

en attribuant à la variable x la valeur particulière a corn» prise entie x^ et X. En d'autres termes ,

sera une racine de l'équation (i).

SCHOLtE I."' Si , après avoir poussé les séries (2) et (3) jusqu'aux termes

.r„ et XW,

\n désignant un nombre entier quelconque], on prend la demi-somme (ie ces deux termes pour valeur approchée de la racine a , Terreur commise sera plus petite que leur demi-diilérence , savoir ,

Comme cette dernière expression décroît indéfiniment U mesure que n augmente , il en résulte qu'en calculant un nombre suffisant de termes des deux séries , on finira par obtenir de ia racine a des valeurs aussi approchées

oue l'on voudra.

SCHOLIE 2/ S'il existe entre les limites x^, X plusit^urs racines réelles de l'équation ( i ) , la méthode précédente en fera connaître une partie , et quelquefois même les fournira toutes. Alors on trouvera pour .r, et X' , ou bien poiu" x^ et X" , tac... , plusieurs systèmes de valeurs qui jouiront des mêmes propriétés.

SCHOLIE j»." Si la fonction f{x) est constamment croissante ou constamment décroissante depuis x z=z x^ jusqu'à X :=i X , il n'existera entre ces limites qu'une seule valeur de x propre à vérifier l'équation (i).

Corollaire i."" Si l'équation (i) n'a pas de racines réelles comprises- entre les limites x^, X, les deux quantités

seront de même signe.

Corollaire 2.' Si dans I "énoncé du théorème 1 .*'

Ion remplace la fonction f [x] par

[6 désignant une quantité constante], on obtiendra précisément le 4.'' théorème du chapitre II [5. 2]. Dans la même hypothèse , en suivant la méthode ci-dessus indiquée , on déterminera numéiiquement les racines de l'équation

comprises entre x^ et X.

464 NOTK Ilî.

Nota. Lorsque l'équation ( i ) a plusieurs racines com* prises entre x^ et X , en calculant les séries (2) et (^) on n'est pas toujours assuré d'obtenir la plus petite ou la plus grande des racines dont il s'agit. Mais on peut arriver à ce but en suivant une autre méthode dont M. Le^ gendre a fait usage dans le Supplcinent à la Théorie des nombres. Cette seconde méthode se déduit immédiatement des deux théorèmes que je vais énoncer.

2." Théorème. Supposons , comme dans le theo^ renie //'', que la fonction f{x) reste continue depuis .r = j-o jusqu'à X =«. Jf [X étant supérieur à x^J ; et désignons par <p{x) , x i.^) deux fonctions auxiliaires , également continues dans l'intervalle dont il s'agit , mais de plus assujetties , /." à croître constamment avec X dans cet intervalle , 2." à fournir pour la diffère 7ice

une expressioji variable , qui , d'abord négative lorsqu'on attribue à x la valeur particulière x^ , demeure toujours égale (au signe près) à f(x). Si l'équation

(0 fM = o

a une ou plusieurs raci?ies réelles comprises entre x, et X , les valeurs de x représentées par

(6) X^, X,, X^, .Tj, &C ,

et déduites les unes des autres par le moyen des formules

composeront une série de quantités croissaîites dont le

NOTE m. 465

terme général convergera vers la plus petite de ces racines. Si au contraire l'équation ( i ) n'a pas de racines réelles comprises entre x„ et X , le terme général de la série (6) finira par surpasser X.

DÉMONSTRATION. Admettons en premjer lieu, que l'ëquation f{x) = o ait une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites x^ ^ X ; et désignons par a ia plus petite de ces racines. On vérifiera l'équation dont il s'agit , ou , ce qui revient au même , la suivante

en prenant x = a ; et l'on aura en conséquence

De plus , la fonction xi-^) étant constamment croissante avec X depuis x=:x^ jusqu'à x-=:X , et a surpassant x„, l'on aura encore

En combinant les deux dernières formules avec ia première des équations (7) , savoir ,

on en conclura

. <p (a) > 9(«,), et par suite

De même, en combinant les trois formules

dont la seconde se déduit immédiatement de la formule (9) , on trouvera

TOM. I. Gff

46^ NOTE ÎIÎ.

et par suite

(lo) a > a-,.

EVii continuant ainsi, on s'assurera que tous les termes de Ta série (6) sont inférieurs h. h racine a. J'ajoute que ces différens termes composeront une suite de quantités croissantes ; et' en effet , puisque fa différence

est négative par hypothèse pour a^ = x„, on aura mais xi^o) = <?(-^.)5 t^onc

(il) X, < X,. ^

De pUis, .T, étant compris entre :r„ et «, aucune racine réelle de l'équation 9 (x) — x i^) = ^ "^ se trouvera renfermée entre les limites x^, x^; et par conséquent [voyez le théorème i/% corollaire i /']

seront des quantités de même signe , c'est-à-dire , toutes deux négatives. On aura donc

<P (a;,) < x(^,), et par suite [à cause de x {x ,) =: ip (x^)] ,

&c. . ... Donc enfin les quantités

formeront une série dont ie terme général x„ , croissant constamment avec n , sans pouvoir jamais surpasser la racine a , convergera nécessairement vers une limite égale ou inférieure à cette racine. Nommons / cette limite. Comme , en vertu des équations ( 7) , on a , quel que soit n ,

on en conclura , en faisant croître n indéfiniment , et passant aux limites ,

La quantité / sera donc elle-même une racine de l'équation ( 1 ) ; et, puisque cette quantité sera plus grande que X, , sans être supérieure à ia racine a , on aura évidemment '^ «■•^= -^Jli'H] liitor

Admettons, en secoml lieu, que l'équation (1), n'ait pas de racines réelles comprises entre x , et X. On prouvera encore dans cette iivpothèse , que ie terme général x^ de la série ( 6 ) croît constamment avec n , du moins tant que ce terme reste inférieur à X. En efiet, tant que cette condition sera remplie , la différence

sera [théorème i.*"', corollaire i.*"'] de même signe que

c'est-à-dire , négative , et par suite on établira comme cidessus les formules ( 1 i ) , {i ^) , &:c. ... De plus , x„ ne pourra converger vers une iiojite fixe / inférieure à X^

puisqoe l'existence de cette limite entraînerait évidemment l'équation ( i 5 ) , et par suite l'existence d'une racine réelle comprise entre x^ et X. Donc il faudra nécessairement , dans l'hypothèse admise , que la valeur de x„ finisse par surpasser la limite X.

. . Corollaire //'' Les conditions auxquelles les fonctions auxiliaires 1^ [x) , X^^) sont assujetties dans l'énoncé du 2.*" théorème, peuvent être remplies d'une infinité de manières. Mais, parmi le nombre infini des valeurs que l'on peut attribuer à la fonction <p(a;), il importe ai en choisir une qui permette de résoudre facilement les équations (7) , c'est-à-dire , en général , toute équation de la forme

(p (x) = constante.

La valeur de ç> (x) étant choisie, comme on vie,nt de le dire, on calculera sans peine les difierens termes de la série [6], et il sulFua de, chercher la limite vers laquelle ils convergent pour obtenir la plus petite des racines de l'équation (i) comprises entl'e a;,, et :X.: Si ceS' mêmes termes finissent par surjîasser X, l'équation (i) n'aura pas de racine réelle dans l'intervalle de x, à X. Corollaire ^.' iSî l'on prend

et si de plus l'équation ( 1 ) admet des racines positives , ies quantités x^ , x^, &c. . . . seront toutes inférieures à la plus petite racine de cette espèce, et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.

3.^ Théorème, Supposons , comme dcms le théorème I f^ , que la fonction / (x) demeure continue depuis x^x^ jusqu'à x=.Ji[ \X étant supérieur à x^,];

NOTE iir. 469

et désignons par <p{x), x(x) denx fondions auxiliaires également continues dans l'intervalle dont il s'agit, mais de plus assujetties , i.° à croître constamment avec X dans cet intervalle , 2° à fournir pour la différence

une expression variable qui devienne positive lorsqu'on attribue à x la valeur particulière X , et demeure toujours égale [aa signe près^ àf{x). Si l'équation

a une oii plusieurs racines réelles comprises entre a, et X , les valeurs de x représentées par

et déduites les unes des autres par le moyen des formules

composeront une série de quantités décroissantes dont le terme général convergera vers la plus grande de ces racines. Si au contraire l'équation ( i ) n'a pas de -racines réelles comprises entre x^ et X , le terme général de la série (i 'y^ finira par s'abaisser au-dessous de Xq.

La démonstration de ce troisième tlicorème est tellement semblable à celle du second, que , pour abréger, nous nous dispenserons de la rapporter ici.

Corollaire i f Parmi le nombre infini de valeurs qu'on peut attribuer à la fonction <p(.r) de manière à remplir les conditions exigées, il importe &Qn choisir une qui permette de résoudre facilement les équations

470 NOTE IIL

(i6), c'est-à-dire, en général, toute équation de la forme

^ (a') = constante.

La valeur de ^{x) étant choisie comme on vient de le dire, on calculera sans peine ies différens termes de la série (15), et il suffira de chercher la limite vers laquelle ils convergent pour obtenir la plus grande des racines de i'équation (i) comprises entre a;,, et X. Si ces mêmes termes finissent par s'abaisser au-dessous de x„ , l'équation ( 1 ) n'aura pas de racine réeile dans l'intervalle de x^^ à X.

Corollaire 2.' Si, l'équation (1) ayant des racines positives, X surpasse la plus grande racine de celte espèce , les quantités X' , X" , &c. . . . resteront toutes supérieures à cette même racine , et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.

SCHOLIE //'■ Si l'équation (i) n'a qu'une seule racine réelle a comprise entre x^ et X , les termes généraux des séries (6) et ( i 5) , dont la première est croissante, et la seconde décroissante, convergeront vers une limite commune égale à cette racine. Alors, si l'on prolonge ces séries jusqu'aux termes

x„ et X^"\

puis , que l'on prenne la demi-somme de ces deux tenues pour valeur approchée de la racine a, l'erreur commise sera plus petite que

ScHOLIE 2.' Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir, considérons en particulier l'équation

(17) x'"-~A,x'"-' — A,x'^--~- -^^,x — yf„ = o,

ni désignant un nombre entier quelconque, et A, , A. ..... A , A„ ,

des quantités positives ou nulles. Comme le premier membre de cette équation est négatif pour x=.o , et positif pour de très-grandes valeurs de x, il en résulte qu'elle a au moins une racine positive et finie. De plus , cette même équation ne différant pas de la suivante

1 1 r-. . .-H ■ — sri » -m- I »

dont le second membre reste invariable , tandis que le premier décroît constamment pour des valeurs positives et croissantes de x , n'admettra évidemment qu'une seule racine réelle et positive. Soit a cette racine, et A le plus grand des nombres

enfin désignons à l'ordinaire une moyenne entre ces nombres par la notation

M {A,, A,, .... ^, ylj.

On tirera de l'équation (17) , en y faisant x :=■((, puis ayant égard à la formule ( i i j des préliminaires ,

= ^iT/,>f,, A^, ...J„,, A^)<A. ;

Par conséquent la racine positive de l'équation (17) sera comprise entre les limites o et yl -|- i . D'un autre côté , comme , en désignant par

A.a""^' et A, a""-'

îe plus petit et ie plus grand des termes renfermés dans le polynôme

A, aT-' -\- A, a"

et par n = ou < m le nombre de ceux qui diffèrent de zéro , on aura évidemment

n A s oT'' ,

et par suite

'{nA^^,

{nAy^,

il est clair que ia racine a sera comprise entre le plus petit et ie pius grand des nombres

(19) nA^ , {nA,y , {nA,)\ ... (w^^)-".

Enfin, puisqu'en vertu du théorème i.^' [corollaire i.'"], ie premier membre de l'équation (17) restera négatif depuis X =.0 jusqu'à x=ia , et positif depuis x=.a jusqu'à X = oc , il en résulte qu'on pourra clioisir encore pour limite inférieure de la racine a le plus grand des nombres entiers qui rendent négative l'expression

et pour limite supérieure le plus petit de ceux qui la

rendent positive. Soient maintenant

ies deux limites inférieure et supérieure calculées d'après l'une des règles que nous venons d'indiquer. Si ion fait en outre

les théorèmes 2.^ et 3.^ seront applicables à l'équation (17); et comme , dans cette hypothèse , chacune ^^s équations (7) ou (16) se trouvera réduite à la forme

x^ = constante ,

il deviendra facile de calculer les c|uantités comprises dans les deux séries

Xf Ji. , X" , X , &c. . . . ,

dont les termes généraux seront les valeurs approchées en plus et en moins de ia racine a.

Se HO LIE 3.' Considérons encore l'équation

m désignant toujours un nombre entier , et

des quantités positives ou nulles , dont la plus grande soit égale à -4, En prenant — pour inconnue, on pourra présenter cette équation sous la forme suivante

414 >;oTE m,

qui est pareille à celle de l'équation (17). On en conclura que l'équation (22) admet une seule racine positive inférieure au quotient

et que cette racine est comprise non -seulement entre la plus petite et la plus grande des quantités

[ n == ou < m représentant le nombre des termes variables renfermes dans ie premier membre de l'équation (22)], mais aussi entre le plus grand des nombres entiers qui rendent négative l'expression

et le plus petit de ceux qui la rendent positive. Apres avoir fixé , d'après ces remarques , deux limites en plus et en moins de la racine en question , il suffira , pour en approcher davantage, d'appliquer les 2,* et 3.*^ théorèmes à l'équation (23), en y regardant ~ comme l'inconnue qu'il s'agit de déterminer.

SCHOLIE 4.' Si l'équation ( i ) avait deux racines réelles comprises entre x^ et X y mais extrêmement rapprochées Tune de l'autre, les termes géniaux des séries (6) et (1 5) paraîtraient au premier abord converger vers la même limite , et l'on pourrait prolonger long-temps les deux séries avant de s'apercevoir de la différence entre les îlrniies vers lesquelles ils convergent effectivement. La

xoTE m. 475

même remarque est applicable aux séries (2) et (3). Par conséquent les méthodes de résolution fondées uniquement sur le théorème i ." , ou bien sur les théorèmes 2/ et 3.*, ne sont pas propres à faire connaître , dans tous les cas , ie nombre des racines réelles d'une équation numérique ; mais elles fourniront toujours des valeurs aussi approchées que l'on voudra de toute racine réelle qui se trouvera seule comprise entre deux limites données.

Dans le cas particulier où l'équation numérique que l'on considère a pour premier membre une fonction réelle et entière de la variable x , on peut tout-à-la-fois , ainsi que M. La<rra7ige l'a fait voir, déterminer le nombre des racines réelles et calculer leurs valeurs approchées. Pour atteindre facilement ce but , il convient de réduire d'abord l'équation proposée à n'avoir que des racines inégales , en opérant comme il suit.

Soit

l'équation donnée. Désignons par a, h, c , ... ses diverses racines réelles ou imaginaires, et par m le degré de son premier membre , dans lequel nous supposerons le coefîicienl de la plus haute puissance de x réduit à l'unité. Enfin soit ni le nombre des racines égales à a, ni' le nombre des racines égales à b, m'" le nombre des racines égales à c, Uc... On aura

(28) in -t- i7i" -^- ni" -+-...=: m et

(29) F{x) = {x~ar Çv-by" {x-cY" . . .

On en conclura , en désignant par z une nouvelle variable ,

Si maintenant on fait

(31) F(^-Hz) = F(x)-i-sF,(^)H-z"F,(a;)-f-&c...,

et que l'on développe ies expressions

suivant les puissances ascendantes de z, i équation (50) deviendra

puis, en égalant de part et d'autre les coefficiens de la première puissance de z, on trouvera

SF . fj') m m" m" -~-~- = 1 r -^ ^- &c — /* (x) X — a X — 0 X — c

I m (x — b)(x — f)...+?w {x~-a)(x — c)...+m (x—a)(x — b)...+kc.

Comme la formule précédente a pour dernier membre une fraction algébrique évidemment irréductible, il eh résulte qu'il suffit de diviser le premier membre F (x) de l'équation (27) par le plus grand commun diviseur des deux polynômes F[x) , F, [x) pour ramener cette équation à la suivante

qui n'a pins que des racines inégales.

NOTE m. 477

Nous ne nous arrêterons pas à faire voir comment on pourrait déduire des mêmes principes diverses équations dont les racines, toutes inégales entre elles, seraient équivalentes, tantôt aux racines simples, tantôt aux racines doubles , tantôt aux racines triples, &c... de la proposée. Nous ajouterons seulement ici quelques remarques relatives au cas où l'on suppose immédiatement toutes les racines de l'équation (27) inégales entre elles. Chacun des nombres m', m", m'", &c. . . se réduisant alors à l'unité, on tire de la formule (32)

(34) /^,(j) = (j— i)(x— c)...+(a-— fl)(.r— c)...+(x— a)(x— *)...+&c... ,

et par suite

F, («) = (a — &) (rt — c) ...,

'fAc) = (c-a) ic~b) ..., &c

'=(-■) • {a-h)'{a-cy...(b-cy....

Ainsi , dans l'hypothèse admise , le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation (27) sera équivalent [abstraction faite du signe] au produit

FXa).FXb).FXc),.,.,

et par conséquent au dernier terme de l'équation en z que fournit l'élimination de a; entre les deux suivantes

de sorte qu'en appelant H la valeur numérique de ce

dernier terme, on aura

(38) ^a—by{a—cy..,{b~cy... =±h.

Dans la même hypothèse, les valeurs de F^{a), F,(è),

&c données par les formules (35) n'étant jamais

nulies , si l'on désigne par a une racine réelle de l'équation (27) , il suffira d'attribuer au nombre cL des valeurs très-petites pour que les deux quantités

F(a-i-cc) = et F, (a) -h et' F^ («) -K &c

F(a— et) = - oc F, (a) -t- et" F, («) — &c

soient de signes contraires. De plus , si l'on représente par a?„ , X deux limites inférieure et supérieure entre lesquelles la seule racine réelle a se trouve comprise , en vertu du théorème 1 ." [coroll. 1.''], F[X) sera de méràe signe que F(a-+-cL), F{x^ de même signe que F{a — et) , et • par suite les deux quantités

seront de signes contraires.

Lorsque l'équation (27) n'a pas de racines égales, ou qu'elle a été débarrassée de celles qu'elle pouvait avoir , il devient facile de déterminer pour cette équation nonseulement deux limites entre lesquelles toutes les racines réelles se trouvent renfermées , mais encore une suite de quantités qui , prises deux à deux , servent de limites respectives aux différentes racines de cette espèce, et enfin ïes valeurs aussi approchées que l'on voudra de ces mêmes racines. C'est ce que nous allons établir , en résolvant l'un après l'autre les trois problèmes suivans.

1."' Problème. Déterminer deux limites entre lesquelles toutes les racines réelles de l' équation

se trouvent renfermées.

Solution. F(x) étant par hypothèse un polynôme réel, du degré m par rapport à :c, et dans lequel la plus haute puissance de x a pour coeliicient l'unité , si l'on désigne les coefiiciens successifs des puissances inférieures par

et les valeurs numériques de ces mêmes coefficiens par

^.. -4,, yl„,, A„,

on aura identiquement

Soit maintenant k un nombre supérieur à la racine po* sitive unique de l'équation (17) [3.*^ ihcor. , scholie 2]. Le polynôme (20) sera positif toutes les fois qu'on supposera x-=zk ou > k. Par suite , il suffira d'attribuer à x une valeur numérique plus grande que le nombre A" , pour que la somme des valeurs numériques des termes

devienne inférieure à la valeur numérique de x". II en résulte que le premier membre de l'équation (27) ne pourra jamais s'évanouir , tant que la valeur de x sera située hors des limites

Donc toutes les racines positives ou négatives de l'équation (27) seront comprises eiitre ces rm^mes limites.

ScHOLIE T."" Le nombre A* étant assujetti à la seule condition de surpasser ia racine positive de l'équation (17), on peut le supposer égal soit à la plus grande des expressions (19), soit au pius petit des nombres entiers qui, substitués à la place de x dans le polynôme (20) , donnent un résultat positif.

ScHOLlE 2/ On peut aisément s'assurer que le nombre k , déterïniné comme on vient de le dire , est supérieur non-seulement aux valeurs numériques des racines réelles de l'équation (27), mais encore aux modules de toutes les racines imaginaires. En effet, soit

o^ = r (cos. t -H V~^ *'"• ^)

une semblable racine. On aura en même temps les deux équations réelles

r"'cos. mf±zA^ r"""' cos. {m— i)tzt.A^ r"*"* cos.(m— 2) t±,..

( ±^m-. rcos.t±iA^ — o.

., - Ç /"sïn.mt^i A.r'"-' sm.{m—\)t±iA,r'"-'-sm.(rn—z)t±i... ( ±A^^rsm.t=o;

et , en ajoutant la première équation multipliée par COS. mi à la seconde multipliée par sin. jnt , on en conclura

,, ^ \ r^ ± A, r'"-' COS. t zh A^ r"~^ cos. zt zt

( ± A„^ rcos. (m—i) t d= A^ cos. mt= o.

Or il est clair qu'on ne saurait satisfaire à cette dernière équation en supposant 7^> k , puisque dans cette hypothèse la valeur numérique de r'" surpasse la somme des valeurs numériques des termes .

NOTE iir. 481

et à plus forte raison la somme des valeurs numériques que ces mêmes termes acquièrent lorsqu'on les mulcii)lie par des cosinus.

SCHOLIE j>/ En comparant avec le polynôme (26) les premiers membres des équations (27) et (4o) , on prouverait facilement que, si ion désigne par g un nombre inférieur à la racine positive unique de I^quation (22), g sera une limite inférieure non - seulement aux valeurs numériques de toutes les racines réelles de I équation (27) , mais encore aux modules de toutes les racines imaginaires. C'est ce qui arrivera, par exemple , si l'on prend pour g ia plus petite des expressions (25)' ou le plus grand des nombres entiers qui, substitués à la place de x dans le polynôme (26), donnent un résultat négatif. Le nombre g étant déterminé comme on vient de le dire, toutes les racines positives de l'équation (27) se trouveront comprises entre les limites

et les racines négatives de la même équation entre les iimites

SCHOLIE 4.' Lorsqu'on se propose seulement d'obtenir une limite inférieure à la plus petite des racines positives ou supérieure à la plus grande, on peut quelquefois y parvenir en s'appuyantsur le corollaire du 1 7/ théorème [note précéd.]. Supposons, en effet, que tous les termes du polynôme F(^), à l'exception d'un seul, soient de même signe. L'équation (27) prendra la forme suivante

Soit njaitenant n le nombre des termes qui ^,m^ fo ,^re. TOM. ,. ,,,,

482 NOTE ni.

mier membre de l'équation (43) ne se réduisent pas à aéro, et

la moyenne géométrique entre ces termes , B désignant la moyenne géométrique entre leurs coefficiens. En vertu du corollaire du tliéorème 1 7 [note II], toute valeur réelle et positive de x propre à vérifier l'équation proposée , ou , ce qui revient au même , à lui servir de racine , satisfera nécessairement à la condition

et par conséquent à l'une des deux suivantes.

savoir, à la première, si m— s surpasse ^, et à la seconde, dans le cas contraire. Il est bon d'observer que, si le nombre s s'évanouit, As se réduira au coefficient de x*" , c'est-à-dire , à l'unité.

SCHOLIE y' II est encore facile d'obtenir deux limites , l'une inférieure, l'autre supérieure aux racines positives de l'équation (27), par la méthode que je vais indiquer. On observera d'abord que toute équation dont le premier membre n'offre qu'une variation de signe, c'est-à-dire, toute équation qui se présente sous la forme

^,x"'-}-^,j'^'-f-...— ^„jr'"-"— ^.^.x"-"-' — &c.... =0,

OU sous la suivante

[^^, A^, ... A^, A^^^, &c.... désignant des nombres.

quelconques], n'admet qu'une racine positive, évidemment égale à la seule valeur positive de x pour latruelle la fraction

(pii croît sans cesse depuis x = o jusqu'à ^:== oo , puisse se réduire à l'unilé. Par conséquent le premier membre d'une semblable équation aura le même signe que ses premiers ou ses derniers termes, suivant que la valeur de X sera supérieure à la racine dont il s'agit, ou comprise entre zéro et cette même racine. Cela posé, concevons que, dans le polynôme (39)., —AsX' soit le premier terme négatif après or", -^-A.x" le premier terme positif après — Asx', —A.x" le premier terme négatif après A^x% -^A,,x^^ le premier terme positif après — A,,x'' , &c....; en sorte que l'équation (27) devienne

On conclura des remarques précédentes, que toute valeur positive de x propre h vérifier l'équation (27) doit être I .° inférieure à la plus grande des racines positives des équations

2.° supérieure à la plus petite de ces mêmes racines , lorsque A„ est précédé du signe —, et dans le cas contraire, à la plus petite des racines positives des équations de la forme

484 NOTE in.

-^ ..r"-'-^ ,^ .a;"-^-'-. . . -f-yi X""" -t-^ „4.ia;"'-''-' -4- . . .= o ,

Quelquefois les deux conditions qu'on vient d'énoncer s'excluent mutuellement ; et alors on peut affirmer que i'équation (27) n'a pas de racines positives.

2/ Problème. Ti^oiwcr le nombre des racines réelles de l'cquatioii (.27) , avec une suite de quantités qui , prises deux à deux , servcJît de limites à ces mêmes raci7ies.

Solution. Nous supposerons l'e'quation (27) réduite à n'avoir que des racines inégales. Alors, si l'on désigne par k [ voy. le problème précédent ] une limite supérieure aux valeurs numériques de toutes les racines réelles , par h un nombre moindre que la plus petite différence entre ces racines, enfin par A', , k^, ... k^ d'autres nombres tellement choisis que dans ia suite

(4Q -^f -J'^i, -J^^y ••• -J^n, o, k„, ... A-^, A-,, kf

la différence entre un terme et celui qui le précède soit toujours une quantité positive égale ou inférieure à A , il est clair que deux termes consécutifs de la suite (46) ne comprendront jamais entre eux plus d'une racine réelle. D'ailleurs, loîsqu'on substitue à la place de x dans le polynôme F(^x) deux quantités entre lesquelles une seule racine réelle au plus se trouve renfermée , les résultats obtenus sont de même signe ou de signes contraires ; pour parler autrement , la comparaison de ces deux résultats offie une permanence de signe , ou une variation de signe , suivant qu'il n'existe pas de racine réelle, ou qu'il en existe une entre les deux quantités

NOTE m. 485

dont il s'agir. Par conséquent , si l'on prend les termes de la suite (46) pour des valeurs successives de la variable X , et que l'on forme la suite des valeurs correspondantes du polynôme FÇx) , cette nouvelle suite offrira précisément autant de variations de signe que l'équation (27) a de racines réelles , et chacune de ces racines sera comprise entre deux valeurs consécutives de x qui , substituées dans F {oc) , donnent des résultats de signes contraires. Ainsi toute la difficulté consiste à trouver j)our le nombre h une valeur convenable. On y parvient de la manière suivante.

Désignons par H la valeur numérique du dernier terme de l'équation en z que fournit l'élimination de x entre les formules (37). Le nombre H , ainsi qu'on l'a àé\a. remarqué, sera équivalent [abstraction faite du signe]

au produit des carrés des différences entre les racines

réelles ou imaginaires de i'équation (27). Par suite H^

sera équivalent au produit des modules de ces diflérences [ le module de chaque différence réelle n'étant autre chose que sa valeur numérique]. Cela posé, soient a, h deux racines distinctes de l'équation (27). Si ces deux racines sont réelles, chacune d'elles ayant alors une valeur numérique inférieure à k, la valeur numérique de leur différence, c'est-à-dire, la différence ou la sonnne de leurs valeurs numériques ne surpassera jamais 2 k. Si au contraire chacune de ces racines ou Tune d'elles seulement devient imaginaire, on pourra, en désignant par ?•, , 7-3 leurs modules , et par t^ , t., deux arcs réels , supposer

a = r, (cos. ;, -H /Z; sm. t, ) ,

h = 1\ (cos. f, -H y/ 117 «'"• l^ ) ;

et l'on en déduira

486 NOTE m.

a — b = »•, C03. f , — r^ cos. t^ -4- (/•, sin. if , — r^ sin. /.) ^f^ ,

morf. (a — b) = [(?-,co?.f, — r^cos.t^y -h (»•, sin.r, — r, sin. .*,)■*] -

On aura donc

mod. (« — b) < r, -\- r^ ;

et par suite

(^^y) mod. [a — b) < ik ,

pourvu que le nombre k ait été choisi , comme dans îe premier problème, de manière à surpasser non-seulement ÎC3 valeurs numériques de toutes les racines réelles , mais encore les modules de toutes les racines imaginaires. On prouvera de même que chacune des différences

a pour module un nombre inférieur à 2 A* ; et I on en conclura que , si , après avoir formé tous les modules de

cette espèce en nombre égal a — , on met cîe cote

l*un d'entre eux , par exemple , le module de la difTérence a—b, le produit de tous les autres sera un nombre inférieur à l'expression

mfm-0

Donc , si l'on multiplie cette expression par le module de la diilérence a — h, on trouvera un résultat plus grand que le produit des modules de toutes les diiTérences ,

c'est-à-dire , un résultat plus grand que // ^ . En d'autres termes , on aura

(2 /:) ^ ' X mod. (a — b) > H' ; ou , ce qui revient au même ,

(48) mod. {a-^h) > ^~^ .

Lorsque les racines a et h sont réelles , le module cîe la différence a — b se réduit à sa valeur numérique. Par conséquent on obtiendra un nombre h inférieur à ia plus petite différence «ntre les racines réelles de léquatioa {i.'/), si l'on pose

(49) ^= l^ôT-.

ScHOLlE /."' Il serait facile de prouver que , si chacun des nombres A, , A^, ... A„ [ i ." problème] est entier, le nombre H le sera également. Par suite, dajis cette" hypothèse, le nombre H, qui ne peut s'évanouir tant que les racines de l'équation (27) restent inégales entre elles , aura une valeur égale ou supérieure à l'unité. Cela posé, la formule (48) donnera

(50) mod.{a~b)> ^|^.. ■- î

et Ton en conclura que , pour obtenir un nombre h inférieur à la plus petite différence entre les racines, il suffit de prendre

SCHOLIE 2.' Soit

féquation en z que fournit l'élimination de x entre les formules (37). Si, par la méthode ci -dessus indiquée [ I .""' problème, scholie 3 ], on détermine une limite G inférieure aux modules de toutes les racines réelles ou

mod. (a — c ) .

{zky

488 NOTE IIÏ.

imaginaires de i équation (52), on aura, en désignant toujours par a, h, c, ... les racines de l'équation (^7) ,

mod. F^(a) > G ,

ou, ce qui revient au même [ voy, les équations (35)],

Diod. (et — h) {ci — c) . . . > G, On en conclura

mod. ( « — h) > et par suite

(53) mod. (« — h) >

puisque les différences

qui renferment la racine a combinée successivement avec toutes les autres , sont au nombre de ;« — i , ou , si l'on met de côté la différence a — h, au nombre de m— 2. Cela posé, il est clair que le nombre h satisfera encore aux conditions requises, si l'on prend

SCHOLIE 3.' Après avoir déterminé h par l'une Aq^ méthodes précédentes, on pourra choisir pour la suite des nombres

Ai, /i j , .... A-„

une progression arithmétique décroissante dont la différence soit égale ou inférieure à A, en se bornant toutefois aux termes de cette progression qui restent compris entre les limites o , k. De plus , si l'on désigne par g [voyez le i .^'' problème , scholie 3 ] une limite inférieure aux valeurs numériques de toutes les racines réelles de

NOTE m. 489

fequation (27) , on pourra évidemment dans la suite (46) supprimer tous les termes positifs ou négatifs dont les valeurs numériques seront plus petites que g , en écrivant à la place les deux seuls termes

— ^ > -^' g- La suite (4^) étant modifiée comme on vient de le dire , on substituera successivement dans le polynôme F {x) , I .° les termes négatifs de cette suite depuis — k jusqu'à — g , 2 ." les termes positifs depuis -f- g jusqu'à -j- k ; et toutes les fois que deux termes consécutifs de la première ou de la seconde espèce fourniront des résultats de signes contraires, on sera certain qu'une racine réelle, négative dans le premier cas , positive dans le second , est renfermée entre ces deux termes.

SCHOLIE 4.' Lorsque par un moyen quelconque on a déterminé , pour l'équation (27) , une valeur approchée en plus ou en moins de la racine réelle a, on peut dans un grand nombre de cas obtenir de la même racine une valeur approchée en sens contraire , et fixer deux limites , l'une plus grande que les racines réelles inférieures à a , l'autre plus petite que les racines réelles supérieures, en s'appuyant sur la proposition que je vais énoncer.

Représentons à V ordinaire far

les cocffîciens des 1 J' , 2.', 3.', ... "puissances de z

dans le développement de F{x->rz); par a, h , c ,

les diverses racines de Vécpiation (-27), et par A un nombre supérieur à leurs modules. Supposons en outre que , la quantité ^ étant u?ie valeur approchée de la racine réelle a, la différence a — ^, ci la quantité a.

4î)0 NOTE IIÎ.

déterminée par réqnalion

.soient assez petites [abstraction Jaite des signes^ pour ijue dans le pohjnome

la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numériques de tous les autres. Knfin désignons par G u?i nombre inférieur à l'excès de la première valeur numérique sur la somme dont il s'agit. On sera certai7i , i ." que la racine réelle a se trouve seule comprise entre les limites