I, ^ -+- 2CL
2.° que la différence a — b ou b — a entre la racine a et une nouvelle racine réelle b ne peut surpasser
(57) (zA)'"-^ •
Pour démontrer la proposition précédente , nous observerons d'abord que dans l'hypothèse admise , le polynôme (56) étant de même signe que son premier terme, on pourra en dire autant à fortiori des deux polynômes
3F.(^ + (.a)F,®-(.arF30 + (2«)5F4©-&;c...,
()8) qu'on obtient en développant les fractions
et ' CL '
.suivant les puissances ascendantes de et, et ayant égard à i'équalioir( 5 5 ). Par suite , les premiers termes des deux polynômes étant de signes contraires , i\ en sera de
même des deux fractions, et de leurs numérateurs
F(|-2CL), F(e-+-2Ct).
II y aura donc au moins une racine réelle de l'équation (27) entre les limites
J'ajoute qu'il n'y en aura qu'une ; et en effet , il est facile de voir que , si plusieurs racines réelles étaient renfermées entre ces limites, en désignant par a et b deux semblables racines prises à la suite l'une de l'autre , on trouverait pour les valeurs des expressions
deux quantités de signes contraires. Par conséquent l'équation
aurait une racine réelle comprise entre a et b , laquc-Iîe serait de la forme
îa quantité ::; étant renfermée entre les limites — 2cL , -f- 2 oL. Or, c'est ce qu'on ne peut admettre. Car , si l'on remplace dans la formule (31) z par y-\-z , et que 5 l'on développe le premier membre de cette formule ainsi modifiée suivant les puissances ascendantes de y , on en tirera
F(x-^-z)-^yF, (x-hz)-¥-&Lc
= F(t) -t- (y -4- -) F. (.r) -4- il/ H- z.y F, (x) -+- &c.. . ;
puis, en égalant de part et d'autre ks coefficiens de la première puissance de y ,
Par suite, le développement de
deviendra
(62) F.(e)H-2zF.(|)H-3;;^F3(|)-h42'F,(|)-4-&c... ;
et, comme dans le polynôme (5 6) la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numériques de tous les autres, il en sera de même à foi'lioj'i du polynôme (62), tant que ia valeur numérique de z sera supposée inférieure à celle de 2 cC. Il en résulte que , dans cette hypothèse , l'expression (61) ne saurait s'évanouir. Donc l'équation {')()) n'a pas de racines réelles comprises entre les limites ^ — 2ûL, |-|-2£t; et l'équation (27) n'en a qu'une entre ces limites. La racine dont il s'agit est nécessairement celle qui s'approche le plus de la quantité | , et que nous avons désignée par a. D'autre part, comme la fraction
équivalente au second des deux polynômes (58), est de même signe que le premier terme de ce polynôme , savoir ,
on doit en conclure que
F(|) et F(|-H2ct).
sont deux quantités de signes contraires , et que la racine a se trouve resserrée entre les deux limites
Quant à la seconde partie de la proposition ci-dessus énoncée, elle est une conséquence immédiate du scholie 2.*", puisque la quantité G restera évidemment inférieure [abstraction faite du signe] au polynôme (62), c'est-à-dire, au développement de F^ [^-^z) , tant que la valeur numérique de z ne surpassera pas celle de 2cL, et par conséquent inférieure à la quantité F, (a) qu'on déduit de F, (f 4-5), en posant
Il suit d'ailleurs de cette seconde partie que les racines réelles plus grandes que a sont toutes supérieures à la limite
et les racines réelles plus petites que a inférieures à la limite
3/ Problème. Trouver les valeurs aussi approchées que l'on voudra des racines réelles de l'équation (27).
Solution. On commencera par déterminer, à l'aide du problème précédent , deux limites , l'une en plus et l'autre en moins, de chaque racine réelle et positive. Supposons en particulier que la racine a soit de cotte espèce , et désignons par a:., , X les deux limites inférieure et supérieure à ce^te racine. Si l'on forme deux sommes différentes , la première avec les termes positifs du polynôme F{x), la seconde avec les termes négatifs piis en sij^ne contraire, celle qui sera la plus petite pour .r = .r^, deviendra la plus grande pour .rr=rA^. Représentez cette somme par (p(.r) et l'autre par %(j;). Les deux fonctions
494 NOTE ni.
entières <p(x), x(^) jouiront des propriétés énoncées dans les 2/ et 3/ théorèmes ; et par suite, si la fonction ç(x) est telle qu'on puisse facilement résoudre les équations de la forme
<p [x) = constante , '
les formules (7) et (16) fourniront immédiatement des valeurs de plus en plus approchées de la racine a. C'est ce qui arrivera , par exemple , toutes les fois que la fonction (p (^x) se présentera sous la forme
B{x-hCy -{-D, B , C , D étant trois nombres entiers quelconques , et n un nombre entier égal ou inférieur à m; puisqu'alors on obtiendra les termes successifs des séries (6) et (1 5) par des extractions de racines du degré n. Si la fonction (p{x) n'est pas de la forme que nous venons d'indiquer, on pourra facilement l'y ramener , en ajoutant aux deux membres de l'équation
un polynôme entier 4(^) ^o^t tous les tenues soient positifs. En effet, il est clair que les valeurs de <p(x) et de y,{x), modifiées par l'addition d'un semblable polynôme , conserveront toujours les mêmes propriétés. On peut , au reste , attribuer au polynonïe -^{x) une infinité <le valeurs différentes. Supposons , par exemple ,
La Valeur de <p(x), modifiée par l'addition du polynoine ■l(x), deviendra
(:c -H 1)^-4-7, si l'on suppose
OU bien
si l'on suppose
&c. ... II est fjon Je remarquer à ce sujet , i ." qu'on peut toujours choisir la fonction entière 4 (^x) de manière à obtenir i'unîté pour le nombre B , i° que dans beaucoup de cas, l'an des nombres C , D se trouvera réduit à zéro.
Après avoir déterminé par la méthode précédente les racines réelles et positives de l'équation (27), il suffira évidemment pour obtenir ses racines ne-gatives de chercher par la même méthode les racines positives de l'équation
SCHOLIE. Outre la méthode d'approxim.ation que nous venons d'indiquer , il en existe pkisieurs autres ," parmi lesquelles on doit rernafquer celle cïc Ncicton. Elle suppose que l'on connaît de'jà une valeur approchée ^ de la racine que l'on cherche , et consiste à prendre pour correction de cette valeur la quantité cC déterminée par l'équation . f. 1
Toutefois, cette dernière méthode n'étant pas toujours
applicable, il importe d'examiner dans quels cas on peut
l'employer. Nous allons établir à ce sujet les proposition» suivantes.
4.' Théorème. Supposo?2s que , a. désignant l'une quelcomjue des racines réelles positives ou né<>atives de l'équation (27) , et ^ une vaUur approchée d&
cette racine , on dr'termi?ie a. jjarle moyen de l'écjualion (33). Si et est assez petit [abstraction faite du sigjic^ -pour que dans le poUjuamc (36) la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs rmmériques de tous les autres , alors des deux quantités
la seconde sera plus approchée de a que la première.
DÉMONSTRATION. Nous avons dc'fa vu [2/ probl. , sclîolie 4 ] ({ue , dans l'hypothèse admise , la racine a se trouve seule renfermée entre les hmites
f , ^ -4- 2ct.
Cela posé, si l'on prend
{66) a = ^-hz,
z sera une quantité comprise entre les limites o, 2 et, et propre à vérifier l'équation
ou , ce qui revient au même , la suivante ,
(67) F(e) + zF,(|)-f-z^F.(e)H-&c... = o. Si maintenant on fliit pour plus de commodité
(68) q — pj^^
et que l'on ait égard à la formule (55), l'équation (67) deviendra
(69) z=ct-h<7;s*.
On aura par suite ^. ..
(70) a=z^-\-z=i^-it-cL-\-qz*-y
d'où il résulte qu'en prenant ^ -h cjL au lieu de | pour
NOTK m. 497
"Valeur approchée de a , on commettra une erreur égaie non plus à la valeur numérique de z, mais à celle de ^3^. D'ailleurs, le polynôme (56) étant de même signe que son premier terme /^, (f ) , les deux polynômes
( F.(|)-2(za)F,(^)-2(.a)zF3(^)-&c... = (,-t-4a9).F.(^)
jouiront évidemment de la même propriété ; ce qui exige que la valeur numérique de ^.duq, et à fortioi'i celle de ÇfZ, restent inférieures à \. On en conclura immédiatement que la valeur numérique de ^;:3" est inférieure à celle de \z. Ainsi des deux erreurs que ion commet en prenant
I et ^ -j- CL
pour valeurs approchées de a , la seconde est plus petite que la moitié de la première.
SCHOLIE i/' Comme on tire de l'équation (69)
et que la valeur numérique de fjz est inférieure à 4- , on est assuré que la valeur de z restera toujours comprise entre les limites
— CL , 2 et.
ScHOLIE 2/ En résolvant l'équation (6p) comme si la valeur de ^ était comme , on tiouve '
Le radical y^i — 4ay est ici aiîecté d'un double signe. Mais, puisque la valeur de z doit rester plus petite que celle de 20L, il est clair qu'on devra préférer le signe inférieur. On aura donc
TOM. I. li
f98 NÔTK III.
Cela posé, si l'on nomme r/^, 0, fleiix limites dont l'une sort inférieure et l'autre supérieure à la quantité ^ déterminée par la fornsule (68), on conclura de l'équation (72), que la valeur exacte de z est comprise entre les deux expressions
, ^ 1 CL 2 et
Par conséc^ent cette valieur renfermera tous îes chiffres décimaux communs aux deux expressions réduites en nohibres.
SCHOLIE ]/ Supposons que des deux quantités q„, Q la seconde ait la plus grande valeur numérique , et que cette valeur mimérique soit inférieure à l'unité. Alors , si la différence a — f = z est [ abstraction faite du signe ] plus petite cpj'une unité décimale de l'ordre 7i , c'est-à-dire, si l'on a
(74) val. iium. z < i j ,
la différence
a — [^-^<L) = qz-
sera plus petite [abstraction faite du signe] qu'une unité décimale do l'ordre 2 n ; en sorte qu'on trouvera
(75) val num. qz"- < {-^j \
Ainsi, en prenant ^-\-(L au lieu de ^ pour valeur approchée de la racine a , on doublera le nombre des décimales exactes.
Si ion supposait la valeur numérique de Q inférieure non-seulement à l'unité, mais encore à o , i , on conclurait de la formule (74)
NOTH lU. 499
val. niim. qz^ < ( j
Plus généralement, si ion suppose cette valeur jmmérique inférieure à ( — j , ?• désignant un nombre entier quelconque , la formule (74) entraînera la suivaiite ,
{76)9 val. num. qz" < \ j
Enfin, si îa valeur de Q est supérieure à l'unité, mais inférieure à ( i o)'^ , on trouvera
(jy) val num. qz' < ( ,V) " \
SCHOLIE ^/ L'erreur que ion commet en prenant ^-\-cL pour valeur approchée de a , ou la valeur numérique du produit qz^ peut elle-même se calculer par approximation. En effet, si l'on a égard à l'équation (60), on trouvera
qz"- =z q(a,-\-qz-y = q d,"- -t- {2 et) q~ z'- -i- q^' z^ . Or , supposons la valeur numéricjue de 2 a. , par conséquent celle de z, inférieure à (— — ) , et la valeur numérique de Q , par conséquent celle de q , inférieure à (10)^'' ; n et 7' désignant deux nombres entiers. On aura évidemment
val. num. {^2cLj q' z' < ( )
et
val. num, y> z^ < f ]
De plus , si la valeur numérique de la fraction
Il '
500 NOTE in.
est reconnue inférieure ù (lo)-^, s désignant encore un nombre entier , on pourra prendre
