PA'V
pour valeur approchée du terme qcL~ , sans craindre une erreur plus considérable que
Par suite, si ion choisit Ë-\-cL — et" „ ■^, , au lieu
de ^-\-cL , pour valeur approchée de la racine a, c'està-dire , si ion pose
(79) a = ^-\-cL — <L' ^'l' ,
l'erreur commise sur la racine n'affectera plus que les imités décimales de l'ordre marqué par le plus grand des trois nombres
3 7? db 5 ^ 3 w di: 2 r ^ 4 /i zb 3 r.
Dans le cas particulier où la valeur numérique de Q est inférieure à ( — ) , et celle de la fraction (78) à
( — -J , la nouvelle erreur devient plus petite que
Il suffit donc alors de substituer le second membre de l'équation (79) à la quantité | pour tripler le nombre des chiffres décimaux exacts dans la valeur approchée de a. C'est ce qui arrive encore , à très-peu près , quand le nombre n devient très -considérable. Ces résultats sont conformes à ceux que M. Nicholson a obtenus dans un ouvrage récemment publié à Londres , et qui a pour titre : Essay on involutio7i and évolution , Ere.
5.' Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, concevons que le premier terme du pohjJiome (56) , c'est-à-dire , du polynôme qui représente le développement de F, (^-Hza), ait une valeur numérique supérieure non-seulement à la somme des valeurs numériques de tous les autres termes , mais encore au double de cette somme. Alors, si l'on désigne par ^, iine quantité comprise entre les limites
la seconde des deux quantités
sera plus approchée de a que la première.
DÉMONSTRATION . Pour établir la proposition qu'on vient d'énoncer, il suffit de faire voir que la valeur numérique de la différence
est supérieure à celle de
ou , ce qui revient au même , que la fraction
F.it)-
FAh)
a une valeur numérique inférieure à l'unité. Représentons par — cette même fraction. H smTira de prouver que
V — u et V -\- u , c'est-à-dire, en d'autres termes,.
505 ^OTE nr.
. ■• '' « — ^, '^^'^ " — Il
sortt efenix expressions de même signe. Or, si ion fait
'^(8i) a=i^-\-z et |,=:|-f-C,
3 et ^ seront deux quantités de même signe comprises entre les limites o , 2 et ; et les expressions (Bo), après le développement des fonctions
F{^,-\-z), F(e,f-C), F,(|-hO> deviendront respectivement
C^omme , dans chacun de ces derniers jiolynomes , le coefficient de F„(^^) a une valeur numérique évidemment inférieure à celle de l'une des quantités
et par conséquent au double de la valeur numérique du produit
w ( 2 et ) " " ' ,
il est clair qu'ils seront l'un et l'autre de même signe que F, (f ), si la condition énoncée dans le 5/ théorème se
trouve remplie. Donc, &c
SCHOLIË tA Les erreurs commises lorsqu'on prend successivement
pour valeurs approchées de la racine a, sont respectivemenî égales aux valeurs numériques des deux quantités
F CÇ- "^
« — ^^ rt « — f, -H -7-^7^.
On trouvera d'ailleurs , en ayant égard aux formules (8 i ),
et
puis, en développant les fonctions
Cela posé, concevons que , pour toutes les valeurs de C et de ;3 comprises entre o et 2 cL , la valeur numérique du polynôme
reste inférieure à la limite M , et celle du polynôme
(B 5) ^. ® -h 2 CF. (I) -f- 3C* F3 (I) H- &c. . . .
supérieure à la limite N. Si l'on a
(86) val. mim. {^z — C) < ( , ~)
et
(87) ■^<(,or',
w et r désignant deux nombres entiers quelconques , oi| conclura de l'équation (83),
.jUl NOTE 111.
U est essentiel de remarquer que , poiii- obtenir âes valeurs convenables de M et de N ^ il suffit, i." de remplacer dans le polynôme (84) z et C par 2 et, puis de calculer la somme des valeurs numériques de tous les termes, 2.° de remplacer dans le polynôme (85) C par 2ot , et de chercher ensuite la difî'érence entre la valeur luimérique du premier terme , et la somme des valeujs numériques de tous les autres.
SCHOLIE 2' Les mêmes choses étant posées que dans le 5/' théorème, si l'on fait successivement
ics quantités |, , ^^ , 1,, &c... seront des valeurs de plus en plus approchées de la racine a. Si d ailleins on atti j- !)ue aux nombres M et N les mêmes valeurs que dan,s le scholie i /% alors, en supposant
(»n en loncliira
val. 7mm. (« — |,) < (-7^) ' ' » ^c
Ces dernières formules renterineiU la proposition énon^ cée par M, Fo}irier dans le Bulletm fie la Société phir lomaliquc ( livraison tk- mai 1 8 1 8 ) , relalivenient ai\
nombre de décimales exactes que fournit à chaque opération nouvelle la méthode de Neivton.
AT
Toutes les fois que la fraction -rr est inférieure à
l'unité, on peut prendre 7'=:o, et par suite les différences successives entie la racine a et ses valeurs approchées
sont respectivement plus petites que les nombres
(^)".(-r.(^r-ar.^---
}>onc alors le nombre des décimales exactes se trouve douUé pour le moins à chaque opération nouvelle.
Les recherches précédentes fournissent plusieurs méthodes de résolution pour les équations numériques. Afin de faire mieux sentir les avantages que présentent ces inéthodes, je vais les aj)pliquer aux deux équations
(90) U-' — 2. X — .5=0 el
que Lngra7ti>c a choisies pour exemples [ Résolution des équations numériques , chap. IV ] , et dont la première a été plus anciennement traitée par Newton.
Si nous considérons d'abord Téquation (90) , nous trouverons [ 3 .' théorème , scholie 2 ] qu'elle a une seule racine positive comprise entre les deux limites
V2.i=z2 et y''^.; ^ 2,1 5 . . . .
De plus , la valeur positive de x propre à vérifier l'équïi.tiou
satisfera [ i /' problème , scliolie 4 ] à la condition
OU, ce qui revient au même, à ia suivante , X > (4o)^ = 2,op
La racine dont il sa^^it sera donc renfermée entre les nombres 2,09 et 2, i 5 ... ; en sorte que sa valeur approchée à moins d'un dixième près sera 2, i . Pour obtenir une valeur plus exacte , nous observerons qu'on a dans le cas présent
F(,r) = x5 2x-5, F, (x) = 34^^-2, F, (^) = 5x, Fj^^,,
et que, si l'on prend
la condition énoncée dans le 4-" théorème sera remplie. Cela posé, comme on tirera de l'équation (55)
<^=^-rEr^ r = — 0,005431878...,
on trouvera pour les nouvelles valeurs approchées de l'inconnue X
^ -\- cL = 2,0945<^8l2I ... , et
Enfin , comme, la valeur exacte de x étant présentée sous la forme xz=j:^-\-z, z sera une quantité comprise entre les limites o , 2 cc , et que par suite on aura évidemment
