en supposant — q == o, 5 6 i
Par suite , la valeur réelle et positive de x propre à vérifier l'équation (90) sera comprise entre les limites
2,1 — 0,00544850 = 2,09455150 et
Cette équation a donc une racine positive unique à trèspeu près égaie à
NOTK III. .509
li est d'ailleurs ilicile de s'assurer qu'elle n'a point de racines négatives. Car , si elle en avait une seule , on pourrait satisfaire par une valeur positive de x à la formule
et cette valeur de x [voyez le scholie 5 du i /' problème] serait en même temps inférieure à la racine positive de i'ëquation
c'est-à-dire , à
et supérieure à la racine de l'équation
c'est-à-dire , à
ce qui est absurde.
Passons maintenant à l'équation (91)' ^^ cherclions en premier lieu ses racines positives. Pour avoir une limite supérieure aux racines de cette espèce , il suffira d'observer que, l'équation dont il s'agit pouvant se mettre sous la forme
on en tire [ i .*" problème, scholie 4]> ^n supposant x positif,
a y 7 x5 ^ rj X ^
et par suite
On peut donc prendre — pour une valeur approchée de
510 NOTE il!.
la plus grande racine positive. Cela posé, si l'on fait dans
l'équation (91)
on trouvera
(97) 0,05 -i-:;-h2,4o.i;--l--^s'=:o, ou , ce qui revient au même ,
(98) s = — 0,05 -f-yz",
Ja valeur de q étant déterminée par la formule
Le double du premier terme de l'équation {^7^ est o, i ; et , comme le premier membre de cette équation change de signe lorsqu'on passe de z^=o à ;;=: — 0,1 , tandis que le polynôme
reste constamment positif dans cet intervalle , il en résulte qu'elle a une racine réelle , mais une seule , comprise entre les limites o et — o, t. La valeur correspondante de a est évidemment renfennée entre les deux quantités
et l'on tire d'ailleurs de l'équation (^98)
(ICO)^ __ (-,^3, — 0.0025( q) 0,00025( qY
— o, 00003125 ( — qY — &c
Si dans cette dernière équation on fait successivement
NOTE m. .)1 1
on trouvera pour ies valeurs correspondantes de z
ei l'on en conclura que la plus graiîcfe racine positive Je i équation proposée est renfermée entre les limites
Donc, si l'on appellea cette plus grande racine, sa valeur approchée à onze cent -millièmes près sera donnée par la formule
(loi) a = 1,6^20.
En partant de cette première valeur approchée, on pourra par une seule opération en obtenir une seconde dans laquelle l'erreur ne portera plus que sur les décimales du douzième ordre.
Outre la racine a que nous venons de considérer, l'équation (91) admet évidemment une racine négative égale [au signe près] à la racine positive unique de l'équation
(102) jr' — 7 X — 7 = 0,
et par conséquent renfermée [ 3 ." théorème , scholie 2 1 entre les limites
— ■/'4=:= — 3,7416.. . et — l/i{=z — 2,4i...
Nommons c la racine négative dont il s'agit. La troisième racine b de l'équation (9 i ) sera évidemment réelle et positive, puisque le produit aie des trois racines doit être équivalent au dernier terme pris en signe contraire , c'està-dire, à — 7. Déterminons à présent cette troisième racine. Pour y parvenir, on cherchera d'abord un nombre
^)12 NOTÉ \n.
G égal ou inférieur à ia valeur numérique dé F, (« ) * Or , puisqu'on a dans le cas présent
on en conclura
On pourra donc prendre
Bailleurs, en vertu de ce qui précède, on a encore
rt < 1,6922 , — c < 3,7417, et par suite
a — c < 5,4335^- Cela posé, on trouvera [2/ problème, scholie 2]
a — b > > — ■ ^ri o, 202 12 ... ;
et l'on aura en conséquence
Après avoir reconnu, comme on vient de le faire, que la racine b est inférieure à la limite i ,4o , on supposera
L'équation (9 i ) donnera dans cette hypothèse
(103) 0,05-f-z — 3,75.3' — -ff ^5 =0,
ou , ce qui revient au même ,
(98) Z=: 0,05 -+- qz' ,
U valeur de q étant déterminée par la formule
NOTE in. 513
(io4) q = 3'75 -+--7F^-
Le double du premier terme de l'équation (103) est o, I ; et, comme le premier membre de cette équation change de signe lorsqu'on passe de 21=0 à z^=■ — :©, i , tandis que le polynôme
reste constamment positif dans l'intervalle , il en résulte qu'elle a une seule racine réelle comprise entre les limites o , — o, 1 . La valeur correspondante de q est évidemment renfermée entre les deux quantités
3,65 et 3,75.
En substituant successivement ces deux quantités à la place de la lettre q dans l'équation (100), on obtiendra deux nouvelles limites de l'inconnue z , savoir ,
i-i-V'1,73 et
puis l'on en conclura que la racine positive h est comprise entre
et
On obtiendra donc la valeur approchée de cette racine à un dix-millième près , si l'on prend
Quant à la racine négative c de l'équation (91), nous savons déjà qu'elle est comprise entre les limites TOM. 1. Kk
— 3,74i^ ... et — 2,4i . ..
On alii-a donc sa valeur approchée à une unité près , si on la suppose égale à — 3. Cela posé, faisons dans l'équation (91)
On trouvera
(ig6) 0,0 5 -4- s — 0,45 .z* + o,o5 .z' = o j ou , ce qui revient au même ,
(98) z = — 0,0^ -^-qz* ,
la valeur de q étant déterminée par la formule
De plus , on reconnaîtra facilement i .° que l'équation (106) a une racine réelle, mais une seule, comprise entre les limites o, — 0,1 ; 2.' que la valeur coixespondante de q est' renfermée entre les deux nombres
3.* que ces deux nombres substitués à la place de la lettre ç dans l'équation (100) fournissent deux nouvelles valeurs approchées de z, savoir,
et
Par suite , la valeur approchée de c à un cent-millième près sera
Au reste, oh aurait pu déduire immédiatement la valeur
approchée de c des formules (loi) et (105). En effet, puisque dans l'équation (9 1 ) le coeificient de x* se réduit à zéro, on en conclut
et par conséquent , à très-peu près ,
Pour terminer cette note, nous présenterons ici deux théorèmes dont le second comprend la règle énoncée par Descartes relativement à la détermination du nombre des racines positives ou négatives qui appartiennent à une équation de degré quelconque. Dans ce dessein , nous allons d'abord examiner le nombre des variations et des permanences de signes que peut offrir une suite de quantités , lorsqu'on suppose les différens termes de cette suite comparés l'un à l'autre, dans l'ordre où ils se succèdent.
Soit (109) «„, a, , a,, . . . a^^ , «„,
la suite que l'on considère , composée de 7» -f- 1 termes. Si aucun de ces termes ne se réduit à zéro, le nombre des variations de signe qu'on obtiendra en les comparant deux à deux, dans l'ordre où ils se succèdent, sera complètement déterminé. Mais, si quelques termes se réduisent à zéro, comme on pourra, dans cette hypothèse, fixer arbitrairement le signe de chacun d'entre eux , le nombre des variations de signe dépendra de cette fixation même , de manière cependant à ne pouvoir s'abaisser au-dessous d'un certain minimum , ni s'élever au-dessus d'un certain maximum. Une semblable remarque peut être faite sur le nombre des permanences de signe. Ajoutons que, pour obtenir le nombre maximum des variations de signe , il
suffit de considérer chaque ternie qui s'évanouit comme affecté diiix signe contraire à celui du terme précédent. Concevons , par exemple , que la suite ( i op) se compose des quatre termes
Le premier de ces termes étant positif, on obtiendra le nombre maximum des variations de signe, en considérant le second terme comme négatif, et le troisième comme positif, ou , ce qui revient au même , en écrivant
Par suite, dans ce cas particulier, le nombre maximum dont il s'agit sera égal à 3. On aurait obtenu au contraire le nombre minimum des variations de signe , égal à l'unité, en affectant chaque terme nul d'un signe semblable à celui du terme précédent, c'est-à-dire, en écrivant
Ces principes étant admis, on établira sans difficulté les propositions suivantes.
6/ Théorème. Supposons que , la constante h étant réelle et positive , on multiplie le polijnome
(i 10) «oa;'"-t-«ja;'"~'-j-«ja;'"~^-+-... H-a^^.T-t-fl^
par le facteur linéaire x -h A . Celle mulliplication n augmentera pas le 72omhre maximum des variations de signe entre les coe^ciens successifs des puissances descendantes de la variable x,
DÉMONSTRATION. En multipliant le polynôme (r 10) par x-^h, on obtient un nouveau polynôme dans lequel les puissances descendantes de la variable ont pour coefficiens respectifs les quantités
(i I 1) a,, a,-\~ha^, a^~hha,, ,..a^-^ha^^, ha^.
NOTE m. 517
II suffira donc de prouver que le nonîbre des varia lions de signe ne croît pas dans le passage de la suite ( i 09) à la suite ( i i 1 ) , lorsqu'on a porté ce nombre au maxinmtn dans l'une et l'autre suite, en affectant chaque terme qui s'ëvanouit d'un signe contraire à celui du terme précédent. Or, je dis en premier lieu que, les signes étant fixés d'après cette règle, chaque terme de la suite (i 1 i), représenté par un binôme de la forme
a -4- ha .
prendra le même signe que l'un des termes a^, « j de la suite (109). Cette assertion est également évidente dans les deux cas qui peuvent se présenter, savoir, 1 .** lorsque^ les deux termes a , a sont oriojinairement , ou en vertu de la règle adoptée, affectés de signes contraires, par exemple, lorsque a^ s'évanouit; 2.* iorsque, a^ ayant une valeur différente de zéro, a est affecté du même signe que a^. En conséquence, si l'on attribue aux quantités
(112) /m„, ha, y ha,, ... A«„. , ha„
les mêmes signes qu'aux ternies correspondans de la suite ( 1 09), on pourra , sans altérer en aucune manière la succession des signes dans la suite (1 1 1 ) , y remplacer chaque binôme de la forme
a -\- ha
par l'un des deux monômes a^ , ha^^^. En opérant ainsi, on obtiendra une nouvelle suite dans laquelle chaque terme de la forme a se trouvera suivi d'un autre terme égal, soit au monôme rt^^, , soit au monôme ha qui est la seconde partie du binôme a ^ -^- ha , tandis que chaque terme de la forme ha se trouvera suivi du monôme ka^^^ , ou du monôme a^^^ qui est la première partie
du binôme a^^^-\~ha^^. Cela pose, concevons que dans îa nouvelle suite on distingue , i .° chaque terme de la forme a^ auquel succède un autre tei'me de la forme ha^, 2/ chaque terme de la forme ha auquel succède un autre terme de la forme a^^^ ; et soient respectivement
a^ , ha^ , tty , ha„ , &c. . . .
les difîerens termes de l'une et l'autre espèce rangés d'après l'ordre de grandeur des indices qui affectent la lettre a. La nouvelle suite, compose'e des monômes
S «o> «., ••• «/> ha,, ha,^^, ... ha^y a^^^, ...a,, j ha,y ha,^,, ...ha,^, a,^j^^, a^j^^, &c... ha^,
ne présentera évidemment que des variations de signe propres à la suite (i oc^)avec celles qui peuvent naître dans le passage de ^rt„ à ««^.j, de ha„ à a^^,^^ , &c... D'ailleurs il est aisé de voir que, si les deux quantités
ha^ et a^^^y
ou, ce qui revient au même,
a, et a^^^
sont affectées de signes contraires, la variation de signe correspondante ne fera que remplacer une autre variation de signe propre à la suite ( 1 09) , savoir , celle qui avait lieu entre le terme «,^, et l'un des deux termes a^ , a^^^. Une remarque toute semblable s'applique au cas où les monômes ha,^, a,,,^^ sont affectés de signes contraires; &c.... On peut donc conclure que le nombre maximum des variations de signe n'augmente pas, lorsqu'on passe de la suite ( 109) à la suite (i « 3), et par conséquent à la suite (i » 1); ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. Si l'on multiphe le polynôme (110) par plusieurs facteurs linéaires de la forme
NOjTE III. Ali^
x-^h, x-^h', x-\-h", &c. . .'.-(i -? rr;rb
h, h', h", désignant des quantités ' pWtives, oh
n'augmentera pas le nombre maximum des Variations ^de signe entre les coefficiens successifs des puissances descendantes de la variable x. ' *" ' 7/ Théorème. Soient, pour le p6f§iiom^ "^ '^
(i lo) F{x) = a^x'"-^a,x'"-'-h"'-\'a„-i^-^^mi
m' le Jiombre minimum des permanences de signe, et m" le nombre minimum des variations de signe entre les coefficiens successifs des puissances descendantes de X. Alors dans l'équation
le nombre des racines 7iegativ.es sera cgdlou inférieur à m' , le nombre des racines positives égal au. inférieur à m" , et le nombre des racines imaginaires égal eu supérieur à la différence "
DÉMONSTRATION. Pour établir la première partie du théorème, j'observe que, si l'on appelle hjji', h", ... les racines négatives de l'équation (i i 4,) , le polynôme F{x) sera divisible par le produit
{x-^h){X'^-''h!){x,-^Jé') ....
Nommons Q le quotient. D'après le corollaire du théorème précédent , le nombje maximum des vaiiations de signe dans le polynoirie FJ^x) sera égal ou inférieur au nombre maximum de ces variations dans le polynôme Q , et par conséquent au degré de ce dernier polynôme. Pur suite, le immbre minimum des permanences de signe
dans le polynôme F{x) sera égal ou supérieur à la dîfTérence entre le nombre m et le degré du polynôme Q^ c'est-à-dire, au nombre des racines réelles et négatives de l'équation
(ii4) F{x) = o.
Pour démontrer la seconde partie du 7/ théorème, il suffira de remarquer qu'en écrivant — a; au lieu de x dans l'équation ( i 1 4 ) , on change à-Ia-fois les racines positives en négatives , les variations de signe en permanences, et réciproquement.
Enfin, conume cette équation, étant du degré m, doit avoir m racines réelles ou imaginaires, il est clair que k troisième partie du théorème est une conséquence immédiate des deux autres.
Corollaire. Pour montrer une application du théorème précédent, considérons en particuher l'équation
On trouvera, i.° en supposant m pair,
w' = o , m"=z o, i.* en supposant m impair,
Par suite l'équation (115) n'a point de racines réelles dans la première hypothèse , et ne peut en avoir qu'une dans la seconde, savoir, une racine réelle négative.
Sur le Développement de la Fonction alternée
iy—x) X (z—a:) (z—y) x x {v—x) (v— y) (v—z) (v — u).
DÉSIGNONS par (p la fonction dont il s*agit. ^insi qu'on l'a dé]^. remarqué [ chap. III, §.2], chaque terme de son développement sera équivalent (abstraction faite du signe ) au produit des diverses variables rangées dans un certain ordre , et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres
De plus , il est aisé de voir que tous les produits de cette espèce peuvent se déduire les uns des autres à l'aide d'un ou de plusieurs échanges opérés entre les variables prises deux à deux. Ainsi , par exemple , on déduira le produit
d'un quelconque des produits de même forme, en faisant passer successivement par de semblables échanges la lettre X à la première place , puis la lettre y à la seconde , puis la lettre 2 à la troisième , &c. . . . Comme d'ailleurs la fonction (p change de signe ( en conservant au signe près la même valeur) toutes les fois qu'on échange deux yariables entre elles , on devra conclure i ." que le développement de cette fonction renferme tous les produits ci-dessus mentionnés, pris les uns avec le signe -{-> les autres avec le signe — ; -•** que, dans le même dévelop-
pement, deux produits, choisis au hasard, sont affectes du même signe , ou de signes contraires , suivant qu'on peut les déduire l'un de l'autre par un nombre pair ou par un nombre impair d'échanges. En partant de ces remarques, on étabhra sans difficulté la proposition suivante.
