Théorème. Joignez au produit

tous* ceux que l'on peut en déduire à l'aide d^iin ou de plusieurs échanges successivement opérés entre les variables

X, y, z, Uj V

prises deux à deux. Le nombre des produits que vous obtiendrez sera

et ils se partageront en deux classes distinctes , de telle manière qu'on ne pourra jamais déduire l'un de l'autre deux produits d'une même classe que par un nombre pair d' échanges , ni deux produits de classe différente que par un nombre impair d'échanges. Cela posé , si l'on ajoute t07is les produits d'une classe pris avec le signe ~\- aux produits de l'autre classe pris avec le signe — , on trouvera pour somme , suivant qu'on donnera le signe -f- aii^ produits d'une classe ou à ceux de l'autre ^ soit le développement de -J-?; soit le développement de — (p.

Il suffit évidemment d'avoir égard à la proposition précédente pour construire le développement de la fonction alternée it: (p. Toutefois on doit remarquer encore un autre théorème , à l'aide duquel on peut décider im-

médiatement si cîeiix produits , pris au hasard dans le développement dont il s'agit , s'y trouvent affectés du même signe ou de signes contraires. Nous nous contenterons d'énoncer ici ce second théorème , sans en donner la démonstration qu'on déduira sans peine des principes que nous avons exposes.

2.' Théorème. Pour décider si, dans le développement de la fonction alternée riz <p deux produits de la forme

X y z , . . u V sont affectés du même signe , ou de signes contraires , on distribuera les variables

en plusieurs groupes, en ayant soin de faire entrer deux variables dans un même groupe toutes les fois ^u elles porteront le même exposant dans les deux produits que l'on considère , et formant un groupe isolé de chaque variable qui n'aura pas changé d'exposant dans le passage du premier produit au second. Cela posé , les deux produits seront affectés du même signe , si la différence du nombre total des variables au nombre des groupes est un nombre pair ; et ils seront affectés de signes contraires, si cette différence est un nombre impair.

On faciUte l'usage du théorème qui précède, en écrivant les deux produits l'un sur l'autre, et rangeant dans chacun d'eux les variables d'après l'ordre de grandeur des exposans qu'elles portent.

Pour appliquer à un exemple les deux théorèmes cidessus énoncés , considérons en particulier cinq variables

Le produit de leurs différences , ou , si I on veut , !a fonction alternée

(y—x) (z—x) (z—y) (ji—x) (w-y) (u-z) {v—x) {v—y) {v—z) (v— u)

fournira un développement composé de cent vingt termes respectivement égaux à cent vingt produits dont soixante seront précédés du, signe -\- , et soixante du signe — . L'uii des produits affectés du signe -|- sera celui qui a poùi" facteurs les premières lettres des binômes

y — X, z — X, z — tj , V — M,

savoir ,

Pour juger si un autre produit tel que

doit être pris avec le signe -f- ou avec le signe — , il suffira d'observer que, si l'on compare les deux produits dont il est ici question sous le rapport des mutations qui ont lieu entre les variables données lorsqu'on passe de l'un à l'autre , on sera conduit à partager ces mêmes variables en trois groupes , dont l'un renfermera la seule variable x, un second les trois variables ij , z , v , et un troisième la seule variable u. Si du nombre des variables égal à 5 on retranche le nombre des groupes égal à 3 , on aura pour reste 2 , c'est-à-dire , un nombre pair. Par conséquent les deux produits devront être affectés du même signe ; et puisque le premier est précédé du signe «+-, le second devra l'être également.

Sur la Formule de Lagrange relative à l'Interpolation.

Lorsqu'on veut déterminer une fonction entière de X, du degré n—\ , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, il suffit d'avoir égard à la formule (i) du chapitre IV [ §. i-"]- Cette formule, donnée pour la première fois par Lagrange , pourrait facilement se déduire des principes exposés dans le premier paragraphe du troisième chapitre. En effet, désignons par

(i) u z=:z a-^-lx -\- cx^ -\-. . .-\-hx'~^

la fonction cherchée, et par

Wo, Wi; «2, "„,

ses. valeurs particulières correspondantes aux valeurs

de la variable x. Les inconnues du problème seront les coefficiens a, b y c, ... h des diverses puissances de .r dans le polynôme u ; et l'on aura , pour déterminer ces inconnues, les équations de condition

"o = a -H è T., -f- c Jy* -h -{-h x^"-' ,

u, = a -h b X, -+■ cx,^ -4- -4- //x,"-',

«,,=«-+- A-r,, -f-cx*„, H- -i- Ax

ji-i

Cela posé, pour obtenir la valeur explicite de la fonc-

tion u , il s'agira uniquement d'éliminer les coefficiens a, b , c, ... h entre ies formules (i) et (2). On y parviendra en ajoutant l'équation (1) aux équations ( 2 ) , après avoir multiplié ces dernières par des quantités choisies de manière à foire disparaître ia somme des seconds membres. Soient

les quantités dont il s'agit. On trouvera

-f- ( X — x„ .Y„ — X, -Y, — X, -Y^ — — x„, JY„. ) «

.4- (x^-x/jr,^-x.^Y.^-x/X,'A-...-x„,^X„,)c

et par suite

(3) u=X,n,-\-X,u,-{-X,u,-{-. . ,-|-X,w„,, attendu que les quantités

devront être assujetties aux équations de condition

X, X„-Hx, -Y. -Hx^ X^-h -4-x„j X„^=x,

(4) ( x„^Y<,-f-x.^Y. -f-x/X,-t- .... -hx„/X„. =x* , &c

Si l'on résout ces nouvelles équations par la méthode exposée dans ie III.'' chapitre [5. i."], on obtiendra les formules

^ __ (x — Xq) (x— X,) (jr — j^J

en vertu desquelles l'ëquation ( 3 ) se réduit à la formule de Lagrange . -j

Au reste , ia formule de Lagrange est comprise dans une autre plus générale à laquelle on se trouve conduit , lorsqu'on cherche à déterminer , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, non plus une fonction entière, mais une fonction rationnelle de la variable x. Concevons , pour fixer les idées , que cette fonction rationnelle doive être de la forme

,^v « -f- èx -4- ex* -4-. . .-4- Ax"~'

Alors les inconnues du problème seront les coefficiens a , b , c , . . , h ; cL , C , y , ... 6,

ou , pour mieux dire , les rapports

abc h C y 9

eC ' A ' CL ^ CL ^ CL ^ CL

dont le nombre est n-\-m. Il est aisé d'en conclure que la fonction u sera complètement déterminée, si l'on en connaît n-\-m valeurs particulières

(7) M,, w,, w,, ... w^^^,, correspondantes à n-\-m valeurs

(8) Xç,, X ^ , x^j . . . ar^^^,

de la variable x. On arrive encore aux mêmes conclusions , en faisant voir qu'une seconde fonction rationnelle de la forme

cl'-y-Q'x -h y'x'--\-. . . -t- O'x'"

ne peut satisfaire aux mêmes conditions que la première, sans lui être identiquement égale. Supposons, en effet, que les fractions (6) et (9) deviennent égales entre elles, pour les valeurs particulières de x comprises dans la série (8). L'équation

j— (a'4-è'x-H...-i-A'x'— ) ict-i-Cx-{-...-\-^x'") = o,

subsistant alors pour w-+-w valeurs de la variable, tandis que son degré reste inférieur à n-i-m , sera nécessairement une équation identique j d'où il suit qu'on aura identiquement /

^ ' ' -^ ci.-^Qx-^yx--i-...-t-^x'" a'-HG 'x-hyx^-^...-hh'-^"' '

On ne peut donc résoudre que d'une seule manière la question proposée. On la résoudra effectivement en prenant pour valeur générale de u la fraction

Uu u ix^-x)(x,-x)...{x^,-x) ^ ^^

dans laquelle le dénominateur doit être remplacé par l'unité, lorsqu'on suppose m=:o , et le numérateur par le produit u^u^ ... u^ , lorsqu'on suppose n =. i . Cela posé, on trouvera, pour w=o.

pour m=z ï ,

H-w, ;^ 77 r-7 r -t- Sic.

pour w=: I ,

"" (.-^o ^^mj \^ i "^ m) ' • '\^ m—t ■^m)

&c Dans chacune des formules précédentes , on

complétera sans peine le numérateur ou ie dénominateur de la fraction qui représente la valeur de m , en ajoutant au premier terme de ce numérateur ou de ce dénominateur tous ceux qu'on peut en déduire à l'aide d'un ou de plusieurs échanges opérés entre les indices. Par exemple , si l'on suppose en même temps m =■ i et n = 2 , on trouvera pour la valeur de u complètement développée

"""■ (^„.rj(x -xj "*~"°"^ (x„-x,)(x,-xj~*""'"^ (x.-x,)(x,-x„)

" (X,,— xJ(Xo— Xj (X,— Xo)(x,— Xj ^ (J^2— •^o)>.— J--.)

Il est bon de remarquer que la formule (12) est celle de Lagrange , et que pour en déduire la formule ( 1 4 ) il suffit de remplacer n — i par m , puis de prendre pour inconnue la fonction — , supposée entière , au lieu de la fonction w.

TOiM. 1. Li

Des Nombres figwrés.

On appelle nombres ^oî^r^'i- Ju premier, du second, du troisième ordre , &c. . . . ceux qui servent de coefFiciens aux puissances successives de x dans îes deVeîoppemens des expressions

{\-^xy\ {\-\-xy\ (l+.f)-^ &c....

Cette définition fournit un moyen facile de les calculer. En effet, nous avons prouvé, dans le chapitre VI [5- 4], qu'on a , pour des valeurs réelles quelconques de />i, , et pour des valeurs numériques de x inférieures à l'unité ,

Si dans l'équation précédente on pose /Ui=i — (772+ i), m désignant un nombre entier quelconque, on trouvera

I —'^ tX' P" tX • • • — f ■"" ' ^ iX

zp &C. . . .

Comme on a d'ailleurs évidemment

. V. (m 4-1) (m-4-2). . .(m-t-w) i . 2 . ^ ...»n(TO-4-i). . .(»H-n)

(ra-i-i ) (n-t-2) . . ■ (n-\-m)

il en résulte que l'équation (2) peut s'écrire ainsi qu'il suit,