I .2.3 . . .Tre I .2.3 . . .m

Les coefficiens numériques des puissances successives de X dans ie second membre de cette dernière formule , savoir ,

^ 1.2.3...?»' 1.2.3. ..Wî i.2.3...7re

sont précisément les nombres figures de l'ordre w. La suite de ces mêmes nombres ou la série (5) s'étend à l'infini. Son fi."'^ terme, c'est-à-dire , la fraction

est à-Ia-fois le coefficient numérique de x"~' dans le développement de (i-\~x)~"'~' , et ie coefficient de x'" dans le développement de (i -+-.r)""^'"~'. De plus, si dans la série (5) on fait successivement

on obtiendra , i ." la suite des nombres naturels ou figurés du premier ordre

2." la suite des nombres qu'on nomme triangulaires ou figurés du second ordre , savoir ,

3 .* la suite des nombres qu'on appelle piframidaux où figurés du troisième ordre , savt)ir ,

Si l'on écrit ces différentes suites au-dessus les unes des autres, en les faisant précéder par une première suite composée de termes tous égaux à l'unité, et plaçant en outre le premier terme de chacune d'elles sous le second terme de la suite immédiatement supérieure, on obtiendra le tableau suivant :

Les nombres renfermés dans la w-+- i colonne verticale de ce tableau sont les coefïicicns de la ?/."" puissance d'un binôme, Pascal , dans son Traite du Triangle arithmétique , a donné le premier la loi de formation de ces mêmes nombres. Newton a fait voir ensuite comment la formule établie d'après cette loi peut être étendue à des puissances fractionnaires ou négatives.

Plusieurs propriétés remarquables des nombres figurés se déduisent immédiatement de la formule (4) du chapitre IV [§. 3]. Concevons, par exemple, qu'après avoir remplacé dans cette formule n par ^^ — i , on y suppose

X ■=■ m -H I , y z= iji -+- I ,

m , m' étant deux nombres entiers quelconques , on trouvera

- . (m-^m'-i-i) (m-\-m'-\--^). . .{m-hm'-hn)

(m+i)(m-f-2)...(/w+n — i) (m-h\)(m-\-2). . Jm+n — 2) »n -Hi

m+\ (w -f-i^'/?? 4-2V .. ()w +?? — -) (m -\-\ym +i) . ..(m +11 — i) 1 1 . 2 . j . . . (11 — z) 1.2.3.., (« — I ) '

puis , en faisant m =. o ,

/ON (w-4-2) (w-H 3) („j-4-„)

(/«+ 1 ) (»2+2) . . . (ffz+.'i— I ) (to+ 1 ) (m-4-2) . . . (m-l-M— i)

De même, si, après avoir remplacé dans la formule (4) [chap, IV, §. 3] « par ?i— ï , on fait en ouire

x=zm-^ i , ij = — {m' + 1 ) , on en conclura

(w-H I ) (m+i) . . . [m+-n— 1 ) (ot4- i ) 'w+2) . . . [m+n-—i ) m'-{- 1

Lorsque dans l'équation précédente on suppose m' = ou >ni, et en même temps ;/ = ou > m' -+- 2 , on trouve

53 f NOTE VI.

(/H'-4-l)ffl (/K-|-,)...(„i)„3)

— fxc