I .2.3...(rt-j
(fn'+ 1 ) (w^+ 1 ) . . ■ {m-+m—m'- 1 ) ■ (pz+i )...(»;4-ra— m'— 2)
Enfin, comme les équations (8) et (10) peuvent s'écrire ainsi qu'il suit :
(il) '•^•3---"^ . 2-34---("^+0 , , w(ff+l)...(»-|-MZ— 1)
^ '^ I.2.3...WI 1.2. 3... 7» *'" I.2.3...Hi
71 (n -+- 1 ). . .(n -hm)
. n. . .()i+m—\) ni'+i («— i)...(n+m— 2)
in-\-\ (ji-m')...(^n+m-m'-\) ^ {n-m'-\)...(7i-{-m-m'-2)
iî est clair qu'elles entraîneront les deux propositions que je vais énoncer.
l.*"" Théorème Si , après avoir formé la suite des nombres figurés de l'ordre m , on ajoute les luis aux autres les n premiers termes de cette suite, on obtiendra pour somme le ji."" nombre figuré de l'ordre
2." Théorème. Si l'on désigne p)ar m, m deux nombres entiers assujettis à la condition
m = ou > m ,
et que dans le développement de (,— x)""'-*-' on remplace les puissances successives de x par jn'-\-z termes consécutifs pm dans la suite des 7iombres figurés de l'ordre m , on obtiendra un résultat égal à zéro.
Corollaire i."' Si l'on suppose que les différens termes de la suite (
(13) «„, a, , rt,, . . . «^, &c
représentent successivement les nombres naturels , les nombres triangulaires , et les nombres pyramidaux , on trouvera dans le premier cas
('4) (i — 2a -4- Cl = a ,
dans le second
(15) a — 3« -|-^« — «,=0, et dans le troisième
(16) a — La -V-da — Lci ,-V-cl , = o.
La première des équations qui précèdent se confond avec • la formule (5) du chapitre XII [§. i."].
Corollaire 2.' Si l'on désigne généralement par
les nombres figurés de l'ordre m ,
sera une série récurrente dont l'échelle de relation aura pour termes les quantités
, o\ '"•"*"' I (jn-+-\)m {m-\-\)m(m—\) , „
c'est-à-dire , les coefFiciens des puissances successives de X dans le développement de (i — x)'"'^\ Ainsi, par exemple , la série
I, 3:r, 6x''', lO.r^, &:c. . . . ,
dans laquelle les puissances successives de x ont pour
536 NOTE vi.
coefFiciens les nombres triangulaires, est récurrente, et son échelle de relation se compose des quantités
Parmi les propriétés principales des nombres figurés , on doit remarquer encore celles que présentent les équations [y] et (9) , lorsqu'on ieur donne les formes suivantes
^ '^■' 1 . 2 . 3 . . . (wi-t-m'-h I )
^^ (« — i)«...(nH-7ra — 2) 2.3 .4. • •( »ï'-H i)
