n (m -+- i). . .(m -t- Tra' — i

n (»-t-i)- - • '(n-hm — »»' — 2 )

n(n-hj)...(n-hm—i) m'+\ (n—t)n...(n+m—2) -

' 1.2.3...»» ' 1.2.3. ..ni

(m'-l- !)...(»! '—«+4) 2.3.4...(7?î+i) (OT'4-i)..(ni'— w+3) 1.2.3...»?

Ajoutons que , dans la suite des nombres figurés de l'ordre w, le wH-i'"' terme équivaut à la somme des carrés des coeiTiciens que renferme la w."^ puissance d'un binôme. En effet, si dans la formule (2) [chap. IV, §. 3] on suppose à-Ia-fois X = 71, y = n , on trouvera

Des Séries doubles.

Soient

des quantités quelconques rangées sur des lignes horizontales et verticales, de telle manière que chaque série horizontale ou verticale renferme une infinité de termes. Le système de toutes ces quantités sera ce qu'on peut appeler une série double ; et ces quantités elles-mêmes seront les différens ternies de la série, qui aura pour terme général

m, n désignant deux nombres entiers quelconques. Cela posé, concevons que l'on représente par

la somme des termes de la série (i) qui se trouvent compris dans le tableau suivant

Mo, w., u^, ... M^, ,

538 NOTE vil.

G est- à -dire, des termes qui porteiit à-Ia-fois un indice inférieur plus petit que n , et un indice supérieur plus petit que m. Si la somme des termes restans pris en tel ordre et en tel nombre que l'on voudra devient infiniment petite poin- des valeurs infiniment grandes de m et de n , il est clair que la somme s ^'"^ , et toutes celles qu'on pourra en déduire en ajoutant à 5^^'"^ quelques-uns des termes exclus du tableau n.° 2, convergeront, pour des valeurs croissantes de m et de n , vers une liipite fixe s. Dans ce cas, on dira que la série (i) est convergente , et qu'elle a pour somme la limite s. Dans le cas contraire , la série ( i ) sera divergente , et n'aura plus de somme.

Lorsque les termes exclus du tableau n.° 2,, étant ajoutés les uns aux autres en nombre arbitraire , ne donnent jamais, pour des valeurs infiniment grandes de m et de n, que des sommes infiniment petites, on peut en dire autant à fortiori de ceux d'entre les mêmes termes qui appartiennent à une 011 à plusieurs colonnes horizontales ou verticale^ du tableau n.° (i). Il suit immédiatement de cette remarque que , si la série double comprise dans le tableau n." ( i ) est convergente , chacune des séries simples comprises dans leà colonnes horizontales ou verticales du même tableau le sera pareillement. Désignons, dans cette hypothèse , par

le résultat qu'on obtient en ajoutant les sommes des vi premières séries horizontales du tableau n.° (1), c'est-àdire, les m premiers termes de la série simple

(3) ?<„-+-!*, -+-K ,-»-&C. , m/h-î/j-Hw'^-^&C. , tt"o-)-M",-+-u"^-+-&C. , &c >

et par

le résultat qu'on obtient en ajoutant ies sommes des n premières séries verticales, c'est-à-dire, les n premiers termes de ia série simple

(4) J^oH-m'oH-U "<,-f-&C. , U,-l-M/-f-M,"-|-&C. , U^-+-u/-+-U^"-^-^C. , &c

5^""' sera évidemment la limite de l'expression s ^'"' pour des valeurs croissantes de 7i , et s la limite de la même expression pour des valeurs croissantes de m. Par suite , il suffira de faire croître indéfiniment w dans s^'"^ et n dans s^ , pour faire converger s^'"^ et s vers la limite s. On peut donc énoncer la proposition suivante.

1.'^' Théorème. Supposons que la seine double comprise dans le tableau nf (1) soit convergente ; et désii^nons par s la somme de cette série. Les séries (.3) et (4) seront égalemeîit convergentes , et chacune d'elles aura encore pour somme la quantilê s.

Concevons maintenant que les valeurs numériques des quantités comprises dans le tableau n." (1) soient respectivement désignées par

Les termes du tableau n.° (i) qui se trouvent exclus du tableau n." (2) , étant ajoutés les uns aux autres en tel nombre que l'on voudra , fourniront évidemment une somme inférieure ou tout au plus égale [abstraction faite du signe] à la somme des termes correspondans Aw tableau

Ço,

n." (5). Donc, si, pour des valeurs infiniment grandes des nombres m et n, cette dernière somme devient infi-^ niment petite, il en sera de même à fortiori de la première ; ce qu'on peut encore exprimer en disant que , si la série double comprise dans le tableau n." (5) est convergente, la série ( 1 ) le sera pareillement. J'ajoute qu'on sera complètement assuré de la convergence de la série double comprise dans le tableau n," (5), toutes les fois que, les séries horizontales de ce tableau étant convergentes , leurs sommes, savoir,

formeront elles-mêmes une série simple convergente. En effet, soit, dans cette hypothèse, g un nombre aussi petit que Ton voudra. On pourra choisir m assez considérable pour que l'addition des sommes

çJ"0h ç^('")j çJ'«)4&C., Ço('"-'-)-i-g/'"-^''^-ç;"'+')H-&C., &C ,

et par suite, celle des termes du tableau n." (5) affectés d'un indice supérieur au moins égal à m, ne produise jamais un résultat plus grand que \ e . De plus , le nombre m étant déterminé comme on vient de le dire, on pourra encore, puisque chacune des séries horizontales du tableau n.° (5) est convergente, choisir ii assez considérable pour que chacune des sommes

Si S«-t-i Sn+2 '

soit égale ou inférieure à -^ g ; auquel cas l'addition des termes qui, dans le tableau (5) , portent un indice supérieur plus petit que m , et un indice inférieur au moins égal à n, ne produira jamais un résultat plus grand que '- e. Les deux conditions précédentes étant remplies , il est clair que dans la série ( 5 ) les termes afTectés d'un indice supérieur au moins égal h. m , et d'un indice inférieur au moins égal a. n , ne pourront donner par leur addition mutuelle qu'une somme tout au plus égale à €. Donc cette somme deviendra infiniment petite , si l'on attribue aux nombres 771 et n des valeurs infiniment grandes , puisque alors il sera permis de faire décroître g audelà de toute limite assignable. Donc l'hypothèse admise entraîne la convergence de la série (5), et par suite celle de la série (1 ). En combinant ce principe avec le premier théorème , on en déduit une nouvelle proposition que je vais énoncer.

2.^ Théorème. Supposons que , toutes les séries horizontales du tahleau n." (i) étant convergentes, leurs sommes , savoir ,

(5) Uo-hW.-hMj-H&C. , Uo'-hM,'-hîl/-t-&C. , Ua"-4-«,"-+-«^"-4- &c. , &c

forment encore une série convero-cnte , et que cette double propriété des séries horizontales subsiste dans le cas même où l'on remplace chaque terme du tableau n." (i) par sa valeur numérique. On pourra dès-lors affirmer , i ." que toutes les séries verticales sont convergentes, 2° que leurs sommes , savoir,

(4) «o-HWo'-+-"o +&C. , u,-i-w,'-+-M,"-t-&c. , W,-i-K/-HMi -H&^i"- .

forment encore une série convergente , 3.' enfui que la

somme de la série (4) est précisément égale à celle de

la série (3).

Corollaire z,"" Le théorème précédent subsiste lors même qu'on suppose quelques -unes des séries horizontales ou verticales composées d'un nombre fini de termes. En effet, chaque série de cette espèce peut être considérée comme une série convergente indéfiniment prolongée , mais dans laquelle tous les termes dont le rang surpasse un nombre donné s'évanouissent.

Corollaire 2.' Soient