V^, V , , V. , V , , KC

deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes les deux quantités s, s', et dont chacune reste convergente lors même qu'on réduit ses différens termes à leurs valeurs numériques. Si l'on fonne le tableau

■UoV^, &c. , &c. ,

on reconnaîtra sans peine que les séries horizontales de ce tableau jouissent des propriétés énoncées dans le 2.*^ théorème , et que leurs sommes sont respectivement

Par suite, en vertu du 2.' théorème et de son premier corollaire, les sommes des séries verticales, savoir,

formeront une nouvelle série convergente ; et la somme de cette nouvelle série sera égale à celle de la série (p) , c'està-dire , évidemment au produit ss'. On se trouve ainsi ramené par ia considération des séries doubles au 6/ théorème du chapitre*^'^! [§. 3].

Corollaire j»/ Si l'on appelle x le sinus d'un arc compris entre les limites — "7" > H- — ^ et z sa tangente, on trouvera

Cela posé, puisque en vertu de la formule (3 9) [chap. IX, 5. 2 ] on a , pour des valeurs numériques de z inférieures à l'unité ,

arc taiiff. Z := Z 1 h- OCC. . . ,

on en conclura, pour des valeurs numériques de x infé- Heures a — ,

arc sin. X arc tang. X (^ l — X J ^ =

-+- kc. . . ,

ou, ce qui revient au même,

arc stn. X

Comme les séries horizontales comprises dans le second membre de l'équation précédente remplissent évidemment les conditions énoncées dans le 2/ théorème, tant que la variable x conserve une valeur numérique inférieure à

— — ; il en résulte que cette équation peut s'écrire ainsi

qu'il suit :

arc sin. X

De plus , si dans la formule ( 5 ) du chapitre IV [ 5- 3 ] , on attribue à y la valeur négative — 2 , et à a; l'une des valeurs positives 3, 5,7, &c. . . , on en tirera successivement

et par suite, on trouvera définitivement

arc sin. ^=::ï;-1 ■ -—

II est facile de prouver, à l'aide du calcul infinitésimal, que cette dernière équation subsiste non-seulement entre

les limites x =^ — , x z=: -i- — - mais aussi entre

les limites x =. — i , x = -f- i .

Corollaire 4.' En vertu de la formule (20) [chap. VI, §.4-], on a, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — i et -j- i ,

ou , ce qui revient au même ,

(i-Hx) — i

Comme les séries horizontales que comprend le second membre de l'équation précédente remplissent les condi- TOM. 1. Mm

tions énoncées clans le 2/ théorème, tant cjue la variable .r conserve une valeur numérique inférieure à l'unité , il en résulte que cette équation peut s'écrire ainsi qu'il suit

Mais on a déjà trouvé [chapitre VI, §. 4 > • •*' piobl. , corollaire 2. ]

/ étant la caractéristique des logarithmes népériens. Les formules (13) et ( 1 4 ) devant s'accorder entre elles [voyez le 6.' théorème du chapitre YI, §. 4], on en conclura, pour toutes les valeurs de a; renferaiécs entre les limites — i et M- i ,

U[/(n-aor=-^-(.

Dans ce qui pfecefTe, noiïs n'avons consiJëré d'autres séries doubles , convergentes ou divergentes , que celles dont les difîerens termes sont des quantités réelles. Mais ce qui a été dit à l'égard de ces séries peut égaiement s appliquer au cas où ieurs termes deviennent imaginaires, pourvu qu'alors on écrive par-tout expression imaginaire au lieu de quaniifc , et module au lieu de valeur numérique. Ces modifications étant admises , les théorèmes I,"' et 2." subsisteront encore. C'est ce que l'on démontrera sans peine, en s'appuyant sur le principe suivant.

Le module de la somme de plusieurs expressions imaginaires est toujours inférieur à la somme de ieurs modules.

Pour établir ce même principe, il suffit d'observer que, si l'on fait

ç (cos. 6 H- /in sin. e ) -f- ç' ( CO.S. Ô' -f- /ZT sin. 6' ) -h . . .■ = R (cos. T*-)— -j/— I sin. T) ,

ç, {^','..R désignant des quantités positives, on en conclura

/l' =:(çcos.ô-hç' cos.Q'-f-...)^ -4- (ç sin. ô -{- ç' sin. ô'-j- ...)' = ç'"-t-ç'^4-... -j-2çç'cos.(â ô')-f-

< ç^+e"H-...-i-2çe'-i-...=-(e-i-e'-h...)%

et par suite

SmtI^^ Fonnujes fpii servent à coni^ertir les Sinus ou ;. Cosinus. des Multiples d'un arc en pohjnomes dont les diffèrens termes Oîit pour facteurs les puissances „., ascendantes du Sinus ou Cosinus de ce même arc.

Les' forrnnies dont il est ici question sont celles que nous avx)ns construites en resolvant les deux premiers problèmes énoncés dans le 5.'' paragraphe du chap. VII, et qui s*y 'trouvent aflTectces des numéros (3), (4)? (0» ('6) , (9) , (i o) , (1 1) et (12). Elles donnent lieu aux remarques suivantes.

D'abord , si , dans le calcul h l'aide duquel on établit les formules (3), (4), (5) et (6), on substitue aux équations (12,) du chapitre VII [ 2 .' paragr. ] les équations (24) chi chapitre IX [2/ paragraphe] , on reconnaîtra immédiatement que les mêmes formules subsistent dans le cas où l'on remplace le nombre entier m par une quantité quelconque /x , tant que l'on suppose la valeur nu-

mérique de z inférieure à — . Ainsi l'on aura , dans cette

Iiypothèse ,

COS. fA,zz=\ —^^ sin.^ z -H ^— ^-^^ -'^ sin.'' z

^~~~~ SI II* <*.* "^ OvC * I

sm. juz = COS. Z ^ u sm. z sin

= cos.z 1 u sir

(/<-f-4) (uH-i) pi f,tt— 2) (u— 4) ..2.3.4.;

-^ (/<^-i-3X/^-HO(/t^',X/<f-3,). srrf:*-i'Xîkc^'}'-''-^

(m. -4- f)/*(-^l-H-fît!);î7lûrT r.îiiV'Vi m. /x z ■=. fx sin. — sm.* te ^ •

-. i/fi'M ;».h . i-;hrî Eîiiiz r,";;! >rir, > f:0 .oiirjirçKîni 'luoiav De plus, en vertu des principes établis clans le c|iap.D^ [5- 2] et dans la note précédente, on pourra développer non-seulement cos. ^c:; et sin. ^a. z , mais aussi les seconds membres des formules (1 ) , (2) , („3) j (4) , suivant les puissances ascendantes de /x; et, comme les coefFiciens de ces puissances devront alors être les mêmes dans le premier et le second membre de chaque fôiimiife,-' on obtiendra , en comparant deux à deux Içs coefficiens dont il s'agit , une suite d'équations parmi lesquelles on distinguera celles que je vais écrire, .

X X , , sin.' ;j ^ sin.'^ x; 2.4 sin.'';: „

, ^. . 1 sin. 3 s 1.5 sin.^r; > -i'^;i-'>

(o j z = sni. z H \ \ V- &c. . .

Nous supposons toujours ici ta varialileis' comprise entre

les limites — , -\ — t- . Mais on démontre facilejnewt

à l'aide du calcul infinitésimal que , sans altérer les (kpia-

tions (1), (2), (3), (4), (5), (6), &c , on peut y

faire croître la valeur numérique de z jusqu'à -;-. Ajoutons qu'en prenant sin. z=.x ^ on fait coïncider l'équation (6) avec la formule (12) de la note VII , et retpialiuu (5) avec la suivante

Ô50 NOTE Vin.

(arc sm. XV =lx'' -f \- — 1 f- &c.

Cette dernière se trouve dans les Mélanges d'analyse publie's en 1815 par M. de Siainville j répétiteur à Tecole royale polytechnique.

Concevons h présent que, dans les formules déïiy. citées du chapitre VII [5- 5 ] , on attribue à la variable z une valeur imaginaire. On conclura sans peine des principes développés dans le chapitre IX [^. 3], qu'elles ne cesseront pas d'être exactes. Supposons, par exemple,

l étant la caractéristique des logarithmes népériens. Comme on aura , dans cette hypothèse ,

COS. z

et généralement ( n désignant un nombre entier quelconque )

COS. nz=\ \af-\~ -jrj , sî"- nz= -^ [x^ — -^j r

on tirera des équations (3), (4), (5)^ (6) [chapitre VII, §• 5 ] > ^ •** P*^^'^' ^^^^ valeurs paires de w ,