Théorème. Supposons que, dans l'équation

la variable x soit fonction d'une autre variable t. Concevons de plus que la variable .r soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur particulière t=:T^ et H fonction continue de x dans le voisinage de la. valeur particulière r = x correspondante à t rzr. La quantité u, considérée comme

fonction de t , sera encore continue jjar rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particidière t^rzT.

Supposons, par exemple,

u -ziz ax et X = t" ,

a désignant une quantité constante, et n un nombre entier. On conclura dû 3 .^ théorème que

u — at"

est, entre des limites quelconques de la variable f, fonction continue de cette variable.

De même, si l'on fait

u = — , X =■ sin. r, y = COS. t,

on conclura du 2.* théorème que la fonction

71 r=r tang. t

est continue par rapport à t dans le voisinage d'une valeur finie quelconque de cette variable, toutes les fois que ia valeur dont il s'agit n'est pas comprise dans la formule

t=:±2k^zh—,

k désignant un nombre entier; c'est-à-dire, toutes les fois qu'à cette valeur de t correspond une valeur finie de tang. t. Au contraire , la fonction tang. t admettra une solution de continuité , en devenant infinie , ])our chacune des valeurs de t comprises dans la formule précédente.

Supposons encore