L"^ PARTIE. CHAP. II

on pourra toujours attribuer au nombre // une valeur assez considérable, pour que, j: étant égal ou supérieur à ^^ ia clifTérence

qui converge vers la limite oo , devienne constamment supérieure à //; et, en raisonnant comme cidessus , on établira la formule

Si maintenant on pose h-k-n=^x, on trouvera, au lieu de l'équation (2) , la formule suivante

/l5L>/îiL +//(, A),

de laquelle on conclura, eu faisant converger x vers la limite 00 ,

Uni. lifL^H.

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre H , quelque grand qu'il soit. Cette limite supérieure à tout nombre assignable ne peut être que l'infiin positif.

Supposons enfin A^ = — 00 . Pour l'amener ce dernier cas au précédent, il sulTua d'observer que, la différence

ayant pour limite — 00 , la suivante

aura pour iimite -4-00. On en conclura que la limite de -— — — ■ est égale k-\- 00 ^ et par suite celle de

Corollaire i."" Pour montrer une application du théorème précédent^ supposons

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l'unité. On trouvera

/(.r^ ,)-/(.-)=i(.rH- 0-Z.(^)=/: (1 + -» , et par suite

On peut donc affirmer que , x venant à croître indéliniment , le rapport

convergera vers la limite zéro ; et il en résulte que , dans un système dont la base est supérieure à l'u^ nité , les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes. Corollaire 2/ Supposons, en second lieu,

A désignant un nombre supérieur à l'unité. On trouvera