I." PARTIE. CHAP. II

Cl par suite

On peut donc affirmer que , x venant à croître indéfiniment , le rapport

converge vers la limite oo ; et il en résulte que r exponentielle a" , lorsque le nombre A surpasse l'imité, finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

Corollaire ^f On doit observer, au reste, qu'il n'y a lieu à cherclier par le théorème i /" ia valeur du rapport

correspondante à .r=oo , que dans le cas où la fonction f{oo^ devient infinie avec la variable x. Si cette fonction restait finie pour .r = oo , le rap-

port i-i— - aurait évidemment zéro pour limite.

Je passe au théorème qui sert à déterminer dans plusieurs cas la valeur de

pour x-=.oo . Voici en quoi il consiste :

1." Théorème. Si, la fonction f ^^x) étant positive pour de très-grandes valeurs de x, le rapport

/'>-f- ') converge , tandis que x croît indéfiniment , vers la

limite h, l'expression

[f{-r)f convergera en même temps vers la mêmç limite.

DÉMONSTRATION. Supposons d'abord cpie fa quaiîtité/i^ nécessairement positive, ait une valeur finie, et désignons par g un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger le rapport

vers la limite k , on pourra donner aif nombre h une valeur assez considérable pour que, x étant égal ou supérieur à /? , le rapport dont il s'agit soit constamment compris entre ies limites

Cela posé , si l'on désigne par n un nombre entier quelconque, chacune des quantités

et par suite leur moyenne géométrique, savoir,

se trouvera comprise entre tes limites k — e, k-i~6. On aura donc

et étant une quantité comprise entre les limites — s -r- e. Soit maintenant

I/^ PARTIE. CIÏAP. II. 65

L'équation précédente deviendra

(4) \Mi'^ = '--'

et Ton en conclura

f{^)=f{h).ik^^Y-\

De plus , pour faire croître indéfiniment la valeur de jr , il sulPira de faire croître indéfiniment ie nombre entier ?i, sans changer la valeur de h. Supposons , en conséquence, que dans féquation (5) l'on considère h comme une quantité constante, et .r comme une quantité vanable qui converge vers la limite 00. Les quantités

renfemiées dans le second membre, convergeront vers la limite i , et le second membre lui-même ver* une limite de la forme

et étant toujours compris entre — é et -h e. Par suite, l'expression

aura pour limite une (piantité comprise entre ^ — s et /c-^c. Cette conclu si on devant subsister, quelle que soit la petitesse du uoml>re g, il eu résuite que*

ia limite en question sera précisément la quantité ^.

En d'autres termes , on ama

(6) nm.[f(.r)Y^^k = lim.^S^,

Supposons, en second lieu, la quantité A^nfînie^ c'est-à-dire, puisque cette quantité est positive, /c=:oo ^ En désignant alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra , on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable pour que, jt: étant égal ou supérieur k h, le rapport

qui converge vers la limite oo , devienne constamment supérieur à //; et, en raisonnant comme cidessus, on établira la formule

Si maintenant on pose h-i-n = a:, on tronvera, au iieu de l'équation (5 j , la formule suivante

Je laquelle on conclura, en faisant converger .rvers la limite 00 ,

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre //, quelque grand