I." PARTIE. CHAP. II

qu'il soit. Cette limite, supérieure à tout nombre assignable, ne peut être que l'infini positif.

Nota. On pourrait facilement démontrer l'équation (6) , en cherchant par le théorème i .^"^ la limite vers laquelle converge le logarithme

et repassant ensuite des logarithmes aux nombres. Corollaire /."■ Pour donner une application du 2.'' théorème, supposons

on aura

et par suite , en passant aux limites ,

Donc , si l'on fait croître indéfiniment la variable x, la fonction

convergera vers la limite i.

Corollaire 2/ Soit, en second lieu,

en sorte que P désigne un polynôme en x du degré n. On trouvera

a -k 1 r-f-iiC...,

et, en passant aux limites,

Si donc P représente un polynôme entier quel^

conque, P aura pour limite i.

Corollaire j." Soit enfin

fU) = L{.v).

On trouvera

j{x) — ~T~(7p ~ ZTÔ^ji '

— I -4- > iJ.

^ Lix) »

et , en passant aux limites , k= f.

Par suite, [Z^ (.r)] ' a encore pour limite l'unité.

Les théorèmes i .^"^ et 2.^ subsistent évidemment dans le cas même où îa variable x est considérée comme ne pouvant admettre que des valeurs entières. En effet, pour rendre applicables à ce cas particulier les démonstrations que nous avons données des deux théorèmes , il suffit de concevoir que la quantité désignée par h dans chacune de ces démonstrations devienne un nombre entier trèsconsidérable. Si, dansie même cas, on représente les valeurs successives de la fonction^ (.r) correspondantes aux diverses valeurs entières de x^ savoir.