I." PARTIE. CHAP. III

Parmi les fonctions symétriques de plusieurs quantités b , c...g', h , on doit distinguer celles qui servent de coefficiens aux diverses puissances de a dans le développement du produit

{a — b) ( a — c) [(i—g) {et— h),

et dont les propriétés conduisent à une solution trèsélégante de plusieurs équations du premier degré entre n variables x , y, z . . .ti , v, lorsque ces équations sont de la forme

/ J7 -f- y -^ s -+- . . . -I- Il -^ V := k^y

\ a jc -^ by -ir- cz -^ . . . -V- gu -^ hv =/?•,,

(i)^ rt'cr-+- b^y -+- c^z -t- . . . -^g'^ti ■+■ h^v=^ A\ ,

a"-'j:-hb''^'y-^c"^'z-i-...-hg'"'ii^h''~'v=/^.

En effet, soient

A„^=:bc-i-...-i-bg-\-bh-^- ...-\~cg-^ch-\- ...-^gh , &c

A,—±:bc g- h

les fonctions symétriques dont il s'agit , en sorte qu'on ait

Si, dans cette dernière formule, on remplace successivement a par b , par c , 6lc.... , par «•, par h, on trouvera

72 COURS i) 'analyse.

h"-' -+- ^„, /^"-' -+- &c. . . . -4- Ah -+-A, = o.

Si l'on ajoute ensuite membre à membre ies équations (i), après avoir moitiplié la première par Ao, la seconde par A, , Sic... ^ ravant-dernière par A„^y et la dernière par l'unité, on obtiendra la suivante

et l'on en concilia

]f^ — (/>4-c..-hr+^0'^-«-:,+(^^--+^^"+6A...+r°4-c/<...+g70A-H;— &rc.±//c..-g/^.^. "" (a -6) ia—c) {a~î^-){a—h).

On déterminerait par un procédé analogue les va- IciHS des autres incomuies'y^ z ... u, v.

Lorsque, dans les équations (1), on substitue auv: constantes

les puissances entières successives d'une mémo ([nanti lé kf savoir y

la valeur trouvée pour .r se réduit à