I."* PARTIE. CHAP. III

(k — b) (k—c)....{k—ff) {k — h)

Ç. 2.' Des Fondions alternées.

Une fonction alternée de plusieurs quantités est ceîie qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu'on échange deux de ces quantités entre elles ; en sorte que , par une suite de senihlahles échanges , la fonction devienne alternativement positive et négative. D'après cette défniition ,

X — y, .Tif — Jo^ [) , L.{-Afûn.x — sin.y^ &:c... sont des fonctions alternées des deux vaiiables x

est une fonction alternée des trois variables x , y , z ; et ainsi de suite.

Parmi les fonctions alternées de plusieurs variables

on doit distinguer celles qui sont rationnelles et entières par rapport à chacune de ces mêmes variables. Supposons une semblable fonction développée et mise sous la forme d'un polynôme. Un de ses termes ^ pris au hasard, sera de la forme

k x^ 1/ z' u' ir' ,

p , q, r . .. s, t désignant des nombres entiers, et k un coefficient quelconque. De plus, la fonction devant changer de signe , mais conserver au signe près la même valeur, après 1 échange mutuel des deux variables x et y , il faudra de toute nécessité qu'au terme dont il s'agit/ corresponde un autre terme de signe contraire

— kx'JyPz' u' v' ,

déduit du premier en vertu de cet échange. La fonction se composera donc de termes alternativement positifs et négatifs , qui , réunis deux à deux , produiront des binômes de la forme

kxP yi z' ... u'v' — kxUjP z' ... vf v'

— k ( xP y? — x'JyP)z'... u' v'.

Dans chaque binôme de cette espèce , p , q seront nécessairement deux nombres entiers distincts l'un de l'autre ; et , comme la différence

.xP y'' — x'' yP

est évidemment divisible par y — x, ou, ce qui revient au même, par .r — y^ il en résulte que chaque binôme et par suite la somme des binômes ou la fonction proposée sera divisible par

Comme on peut d'ailleurs, dans les raisonnemens qui précèdent , substituer aux variables x et y deux autres variables quelconques x et z, ou y et z, &c..^