I." PARTIE. CHAP. m
on obtiendra définitivement les conclusions suivantes :
1 .• Une fonction alternée , mais entière , de plusieurs variables x , ij , z u, v , est composée
de termes alternativement positifs et négatifs, dans chacun desquels les diverses variables ont toutes des exposans différens ;
2." Une semblable fonction est divisible par le produit des différences
prises chacune avec tel signe que l'on voudra.
Le produit dont il est ici question, ainsi qu'on peut aisément le reconnaître, est lui-même une fonction alternée des variables que l'on considère. Pour le prouver, il suffit de faire voir que ce produit change de signe , en conservant au signe près la même valeur , après féchange mutuel de deux variables, X ci y par exemple. Or en effet, suivant que l'on adopte pour chaque différence le signe -iou le signe — , ce produit se trouve égal soit à -t-Cf), soit à — <4) , la valeur de Cp étant déterminée par l'équation
(2) cp =
et, comme il est évident que cette valeur de (^ change seuiement de signe en vertu de l'échange mutueî des variables x et y, on peut conclure qu'il en sera de même d'une fonction équivalente soit à -4- Cp , soit à — Cp.
Concevons , pour fixer les idées , que l'on prenne chacune des différences ( i ) avec le signe -h. Le produit de toutes ces différences sera la fonction CJ) déterminée par l'équation (2), ou, ce qui revient au même, par la suivante
(y—x) X {z—x){z—7j)y X {v—x){v—tj){v—z) (v—u).
Si, de plus, on appelle 7i le nombre des variables .x,y,z ... Il , V ; 71 — I sera évidemment le nombre des différences qui renferment une même variable: et par suite , dans chaque terme de la fonction <^ développée et mise sous la forme d'un polynôme , l'exposant d'une variable quelconque ne pourra surpasser n — I. Enfin, comme dans un même terme les différentes variables devront être affectées d'exposans différens, il est clair que ces divers exposans seront respectivement égaux aux nombres
Chaque terme , abstraction faite du signe et du coefficient numérique , sera donc équivalent au produit des diverses variables rangées dans un ordre quelconque , et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres o, 1,2,3,... '* — ^ * ^^ ^^^^
ï." PARTIE. CHAP. III. 77
ajouter que chaque produit de cette espèce se trouvera compris une seule fois , tantôt avec ïe signe -+- , tantôt avec le signe — , dans le développement de la fonction Cp. Par exemple, le produit
,«— i ^,ff— I
ne pourra être formé que par la multiplication des premières lettres des facteurs binômes qui composent le second membre de l'équation (3).
A l'aide des principes que nous venons d'établir, il est facile de construire en entier le développement de la fonction <^ . et de démontrer ses diverses propriétés [ voyez à ce sujet la note IV ]. Nous allons maintenant faire voir comment on se trouve conduit, par la considération d'un semblable développement, à la résolution des équations générales du premier degré à plusieurs variables.
Soient
a„,x-^b„,7/-hC„,z-^...-i-o-„,u-+-h„,v=k„,
u équations linéaires entre les n variables ou inconnues
et les constantes
choisies arbitrairement. Représentons, en outre, par P ce que devient la fonction Cp lorsqu'on y remplace les variables
par les lettres
considérées comme autant de nouvelles quantités; en sorte qu'on ait
Le produit P sera la fonction alternée la plus simple des quantités a, b, c ... g, h; et, si Ton développe cette fonction par la multiplication algébrique de ses facteurs binômes, chaque terme du développement sera équivalent , au signe près , au produit de ces mêmes quantités rangées dans un certain ordre , et respectivement élevées à des puissances marquées par les exposans o, 1,2, 3 , ... w — 1 . Cela posé , concevons que dans chaque terme on remplace les exposans des lettres par des indices, en écrivant, par exemple,
