PARTIE. CHAP. III

au lieu du terme

et désignons par D ce que devient alors le développement du produit P. La quantité D aura évidemment, tout comme le produit P, la propriété de changer de signe , lorsqu'on échangera entre elles deux des lettres données , par exemple , les deux lettres a^ei h. Il est aisé d'en conclure que la valeur de D sera réduite à zéro , si l'on écrit dans tous ses termes la lettre ^ à la place de la lettre a , sans écrire en même temps a à la place de ^. Il en serait <îe même si l'on écrivait par- tout à la place de la lettre a l'une des lettres c . . . . g , h. Par suite , si , dans le polynôme D, on désigne la somme des termes qui ont a^ pour facteur commun par A^a^^ la somme des termes qui renferment le facteur a, par

v4,«, , &c ; enfin la somme des termes qui ont

pour facteur a„, par A„,a„^, , en sorte que la valeur de D soit donnée par l'équation

on trouvera, en écrivant successivement dans le second membre de cette équation les lettres b, c ... g, h, k la place de la lettre a,

o = AJ„^A,b,^A,b,-h...-^A„, b„, , o = A,c^-+-A,c,-i-A,c,-i- . . . -h- A„, c„, ,

o = A^g^ -I- A,g-^A,,g, -i- . . .-^A„, g„, , o ^A,h,-\-A,h,-i-AJi,-^...-^A„, /r,,,.

Supposons maintenant qu'on ajoute membre à membre les équations (4)^ après avoir multiplié La première par A,,, la seconde par A,, la troisième pary^^ ... ia dernière \yâY A„,. On verra, dans cette addition, les coeiFicicns des inconnues ij, z . , . u, v disparaître d'eux-mêmes en vertu des formules (y), et l'on obtiendra définitivement féquation

Djr = Aji,-\r-A,/.\-hAJi\-i-ikc...-\-A„, X\,. , de laquelle on conclura

A^fi--\-A, k,-\- A,k^ -4-&C.., -\- A„, A- ,

Comme d'ailleurs des deux quantités

D et AJ.\-^A,k,-^AJi^^....-\-A„,k,,,

la première est ce que devient le développement du produit

{b—a) X ic—a) (c—b) x . . . x ih—a)[k—b){h~c) . . . {h— g) ,

lorsque dans ce développement on remplace les exposans des lettres par des indices , et la seconde , ce aue devient la quantité D , équivalente au second membre de la formule (6) , l(^rsqu'on y substitue la lettre k à la lettre a; il en résulte que la valeur de X peut être censée déterminée par i'équation

pourvu que fou convienne do développer les deux