I.*" PARTIE. CHAP. III

posans des diverses variables soit la même dans tous les termes, est évidemment homogène.

Si, dans la formuie (i), on fait (=: — , on en

conclura

Cette dernière équation établit une propriété des fonctions homogènes qu'on peut énoncer de ia manière suivante :

Loi'squiine fonction de plusieurs variables x ^ y , z . . . . est homogène , elle équivaut au produit de l'une quelconque des variables élevée à une cer* taine puissance par une fonction des rapports entré ces mêmes variables combinées deux a deux.

On peut ajouter que cette propriété appartient exclusivement aux fonctions homogènes. Et , en effet , supposons f{x, y , z . . . .) équivalente au produit de a:" par une fonction des rapoorts entre les variables x, y , z . . . . combinées deux à deux. Comme on pourra exprimer tous ces rapports au moyen de ceux qui ont x pour dénominateur, en écrivant par exemple, au heu de ^^,

il en résulte que la valeur de f[x, y, z . . .) sera donnée par une équation de la forme

Cette équation devra subsister , quelles que soient les valeurs de ^^ y^ ^ ... ; et, si l'on y remplace

X par tx , y par ty , z par tz . . . ,

die deviendra

f{tx,ty,tz ...) = t'.x'C)(^^,^ ..).

Par suite , on aura , quel que soit t , dans l'hypothèse admise,

fiytx, ty, tz ...)z=t'f{x, y, z ...);

ou , en d'autres termes ,

sera une fonction homogène du degré a par rapport aux variables x, y , z . . . ,