I." PARTIE. CHAP. IV

pas n — I , mais qui, s'évanouissant pour chacune des valeurs de ^ci-dessus mentionnées, serait pourtant divisible par ie produit

{x—x^ {x—x,) {X-'X^ . . . (jr— ^^ J ,

c^est-à-dire , par un polynôme du degré n / ce qui est absurde. On serait assuré a fortiori de I égalité absolue des deux fonctions Cp(-r) et 'v|/('^)» si Ton savait qu'elles deviennent égales entre elles pour un nombre de valeurs de x supérieur à n. On peut donc énoncer le tlicorènie suivant.

3.* Théorème. Si deux fonctions entières de la variable x deviennent égales poiir un nombre de valeurs de cette variable supérieur au degré de chacune des deux fonctions , elles seront ideîiiique' ment égales , quel que soit x-.

On en déduit comme corollaire cet autre tliéorème :

4.' Théorème. Deux fonctions entières de la variable x sont identiquement égales toutes les fois qu'elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de cette variable , ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans ce cas , en efïet , le nombre des valeurs de X , pour lesquelles les deux fonctions deviemicnt égales^ est indéfini.

Il suit du théorème 3.' qu'une fonction entière u du degré n — i sera complètement déterminée , si Ton connaît ses valeurs particulières

correspondantes aux valeurs

de îa variable jr. Cherchons dans cette hypothèse la valeur générale de la fonction u. Si Ton suppose d'abord que les valeurs particuhères iio-, u^ •••^^„i se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la première 2/^, la fonction ?«, devant alors s'évanouir pour .r=:j:'i , pour x^=ix^^ &c. . . . enfin pour a7=a:^j, sera divisible par le produit

(^ — ^J (^ — .rj ...{x—x^,), et sera par conséquent de la forme

A- ne pouvant être qu'une quantité constante. De pkîs, îi devant se réduire à u^ pour x=Xf^y on en conclura

et par suite

(.r-.r, ) r.r — rj . .. (.r— ^„, ) 2/ =

o (j,-„— X,) (.r„ — jrj ... (^o — •'■„-.)

De même, si les valeurs particulières u^, u^ , ii^ ... u^^^ se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la seconde ii , on trouvera