I." PARTIE. CHAP. IV

Enfin , si elles se réduisent toutes à zéro , à l'exception de la dernière u ^ , on trouvera

U — u C-^ — -^-q) (.r — xJ ... (j: — Xn-J

'''-' (^„-,--ro)(.r„,-x,)...(x„.-x„J

En réunissant les diverses valeurs de u correspondantes aux diverses hypothèses qu'on vient de faire, on obtiendra pour somme un polynôme en x du degré n — i , qui aura évidemment la propriété de se réduire à z/,, pour x^ix^^ à u^ pour .r=.r^ ,

^c à u pour x^=zx . Ce polynôme sera

donc la valeur oénéraie de u qui résout la question proposée, en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée par la formule

(0 2/ — 2/ (x — X,) (x — xQ (x — x„,)

^ ^^ (x — xjfx— X.) (x — x„,)

' ( X. — X J ( X, — xO ( -^-i — -ï^,,-.)

^^ (x — xj (x — X,) (x — X„J

On pourrait déduire directement la même formule de ia méthode que nous avons employée ci-dessus (chap. III, §. I ) pour résou(h'e dans un cas particulier des équations linéaires à plusieurs variables ; [voyez à ce sujet la note V ].

Si, en désignant par n une quantité constante, on remplace dans la formule (i) la fonction u par hi fonction u — a, (pii sera évidemment de même degré , et les valeurs particulières de u par les valeurs particulières de u—a^ on obtiendra l'équation

/ V (X — X„) (X Xz)....(x X„,)

\ ' ^ (■r, — J^J{x,~xJ...{x, — x„,)

-t- r 7/ —ri\ -^~^°) C-^ — -r.) (J^— J^n-J ,

et, en comparant cette équation à la formule (i), on trouvera la suivante

(X Jr,)(T Xz)....(x ^n-i)

(x„ — xj(x„ — xj.

(x Xg) (x Xî). .

(x, — x^j(x. — xj..

Cette dernière équation esc identique , et subsiste quel que soit .r.

Les équations (i) et (2) peuvent servir l'une et l'autre à résoudre , pour les fonctions entières , le problème de l'interpolation ; mais il convient en général de préférer pour cet objet l'équation (2), attendu qu'on peut y faire (iisparaitre fun des termes du second membre, en prenant la constante a équivalente à l'une des quantités

^ Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de faire passer une droite par deux points donnés. Désignons par jCq , 1/^ les coordonnées rectangulaires du premier point, par ^^, 1/^ celles du second, et